Bach Elevado a Doce

La solución de Bach para paliar la quinta del lobo consistió en igualar las frecuencias de todas las notas a una diferencia interválica constante. Si se representan de manera gráfica conforman una espiral logarítmica.

“La música es el placer que experimenta la mente humana al contar sin darse cuenta de que está contando”^[1]

fueron las palabras de Gottfried Leibniz, gran matemático y filósofo, que unieron dos disciplinas opuestas. Ciencia y arte. Lógica y sentimiento. Matemáticas y música. Dos lenguajes universales.

La música constituye un conjunto abierto e infinito de sensaciones, una fusión impecable de ritmos que se acompasan con los latidos de corazón y melodías capaces de traspasar nuestra piel y danzar con nuestros pensamientos. Pero al otro lado de la radio o bajo un foco en el escenario, un intérprete lee una partitura conformada por intervalos matemáticos, subdivisiones rítmicas y patrones musicales. El intérprete es capaz de transformar un continuo de cálculos mentales en una melodía imperecedera en el pensamiento del oyente.

La música, al igual que cualquier lenguaje, sigue unas reglas determinadas, unos axiomas que permiten la construcción de melodías. Los fundamentos matemáticos de la música han constituido uno de los objetos de estudio más esenciales para filósofos, científicos y matemáticos, desde la construcción de la escala tonal de Occidente, el círculo de quintas, la coma pitagórica y El clave bien temperado de Bach.

1. Construcción de la escala pitagórica

Una escala musical se puede definir como una agrupación ordenada de sonidos o notas concretas que permiten componer un entorno sonoro. Las escalas varían en función de las distintas regiones del mundo, y han estado sujetas a las vicisitudes del tiempo, los cambios culturales y la experimentación de los compositores y teóricos. La escala diatónica destaca en Europa occidental, construida a partir de los criterios de la afinación pitagórica^[2].

Dejaremos a un lado la interpretación física del sonido, las vibraciones y los armónicos, para analizar los argumentos matemáticos que ofreció la Escuela Pitagórica y así encontrar aquellas notas consonantes, es decir, aquellos sonidos que al ser tocados simultáneamente producen un efecto agradable o armonioso.

1.1. Relaciones de proporción de la escala e intervalos musicales

Comencemos con el caso más sencillo. Tenemos una cuerda de longitud determinada $L$, atada en ambos extremos, con una tensión y grosor concretos, y la hacemos vibrar. Al oscilar, producirá un sonido determinado. Con una cuerda idéntica a la anterior, pero con la mitad de longitud, escucharemos un nuevo sonido, más agudo. Sin embargo, al tocar ambas cuerdas a la vez se produce una fusión elegante, equilibrada. Por simplicidad, denominamos con el mismo nombre a ambos sonidos (do) y otorgamos frecuencias de 1 a la primera cuerda y de 2 a la segunda.

Buscamos, a continuación, sonidos intermedios entre las frecuencias mencionadas, siguiendo como patrón la fórmula de la media aritmética (1), donde $a = 1$ y $c = 2$ y $b$ sería la nueva frecuencia buscada.

$$b = \frac{a+c}{2} \;\;\; (1)$$

De este modo obtenemos que la frecuencia de la siguiente nota es $b = \frac{3}{2}$. El intervalo entre do y esta nueva nota se conoce como quinta justa, mientras que la relación de frecuencias entre 1 y 2 se denomina octava. La quinta justa de do es sol.

Seguimos construyendo la escala. Para el siguiente intervalo musical se emplea la media armónica,

$$d=\frac{2ac}{a+c} \;\;\; (2)$$

donde volvemos a emplear las frecuencias conocidas de $a = 1$ y $c = 2$. Se obtiene así la proporción para calcular el intervalo de cuarta justa $d = \frac{4}{3}$ , correspondiente a la nota denominada fa.

Por último, considerando $b$ como la media geométrica entre $a$ y $c$, obtenemos la siguiente relación:

$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c} \;\;\; (3)$$

Tabla 1. Proporciones y frecuencias para los intervalos principales de la escala de do central (3).

De esta forma cerramos el círculo de intervalos, obteniendo la siguiente octava. Si $a = 1$ es la frecuencia de nuestro primer do y $b = 2$ es la frecuencia de la octava, el tercer do tiene una frecuencia de $c=\frac{2^{2}}{1}$. De manera equivalente, una octava más arriba supone multiplicar por 2 la frecuencia de la anterior. La frecuencia de la $n$-ésima octava de do, $c_{n}$, viene dada por

$$c_{n}=(2)^{n-1}, n=1,2,3,\dots \;\;\; (4)$$

En la Tabla 1 se recogen las proporciones halladas para los distintos intervalos, así como las frecuencias reales de sus correspondientes notas.

1.2. Intervalos de tono

Los intervalos de cuarta, quinta y octava conforman las cuatro relaciones más importantes de la escala pitagórica o diatónica, el esqueleto principal sobre el que se asienta una composición musical. Sin embargo, si intentamos construir una melodía mediante una combinación de dichas notas, el resultado sería una composición insulsa, anodina, que no podría ni a aspirar a ser la banda sonora de los largos trayectos en los ascensores públicos.

Nos encontramos en una situación de grave necesidad de nuevos sonidos que acompañen a nuestras cuartas, quintas y octavas y que nos permitan crear desde una canción de 3 minutos de Ed Sheeran hasta una sinfonía de Beethoven. Bajo esta premisa, entran en juego los tonos, cuya proporción se puede obtener gracias al cociente de la media aritmética y la media armónica (5).

$$t=\frac{\frac{a+c}{2}}{\frac{2ac}{a+c}} \;\;\; (5)$$

Si introducimos como valores de $a$ y $c$ los obtenidos para el primer y el segundo do, obtenemos la relación de $t = \frac{9}{8}$ para el intervalo tonal o de segunda mayor. Partiendo de la nota do de frecuencia 1 y multiplicando por el factor $t$, obtenemos las sucesivas notas de la escala: re y mi. La cuarta y quinta nota son fa y sol respectivamente, halladas mediante las proporciones discutidas en la sección anterior. A partir de sol, repetimos la operación de multiplicar por $t$ hasta alcanzar la octava, obteniendo así la escala diatónica de ocho notas.

Tabla 2. Escala diatónica de 8 notas con las respectivas proporciones de frecuencias.

1.3. El círculo de quintas y la coma pitagórica

Existen diversas maneras de construir la escala diatónica, por ejemplo, se puede partir de las proporciones interválicas desarrolladas en las dos secciones previas o mediante una sucesión de quintas justas de razón $\frac{3}{2}$. Este último método se conoce como afinación pitagórica.

En este procedimiento, se parte de una nota base de la escala diatónica y se van encadenando intervalos de quinta justa de manera ascendente y descendente. Pongamos que iniciamos nuestro ciclo de quintas con la famosa nota do y calculamos las quintas ascendentes sucesivas mediante la multiplicación del factor $\frac{3}{2}$. La siguiente nota se corresponde con la frecuencia de $\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$ y, a continuación, dividimos por dos para que esté dentro de nuestra primera octava (el valor de su proporción debe ser menor que la frecuencia del segundo do). De este modo, tenemos las siguientes frecuencias: $1$, $\frac{9}{8}$, $\frac{3}{2}$.

Continuamos este método, multiplicando por $\frac{3}{2}$ y dividiendo por $2$ cuando sea necesario hasta llegar a la nota de partida y cerrar el círculo de quintas. Es decir, vamos agregando notas que siguen la relación $\frac{3^{m}}{2^{n}}$, donde $m$ y $n$ son números enteros positivos. Sin embargo, al alcanzar la decimosegunda quinta nos encontramos de frente con un problema:

$$\frac{3^{12}}{2^{18}} \approx 2.0273$$

Y dividiendo por dos para que esté dentro de los límites definidos de la escala obtenemos:

$$\frac{3^{12}}{2^{19}} \approx 1.0136$$

Hemos recuperado una frecuencia muy similar a la de la nota do que habíamos empleado de base pero difiere en una cantidad de $0.0136$, denominada coma pitagórica. Dicho valor residual deriva en disonancias entre las dos octavas. Es decir, la coma pitagórica surge como consecuencia de que en el círculo de quintas, doce quintas no son equivalentes a siete octavas.

El procedimiento habitual para paliar dicho problema dimana de la aparición de la denominada quinta del lobo, conformada por la diferencia de doce quintas puras de relación $3:2$ menos siete octavas. Consiste en un intervalo especialmente disonante que implica alteraciones en la coherencia sonora y en la estabilidad tonal de las composiciones. El modo sencillo de disimular esta disonancia es minimizar su uso, por tanto, la quinta del lobo se traslada a dos notas de uso poco frecuente en la música occidental.

Llegados a este punto, es necesario introducir un nuevo concepto. Nos hemos familiarizado con la escala diatónica, construida a partir de intervalos tonales o de segunda mayor y de las cuartas y quintas de do. Sin embargo, el procedimiento de Pitágoras del encadenamiento de quintas da lugar a una escala de doce sonidos intermedios en la octava, denominada escala cromática o dodecafónica.

Los intervalos entre dos sonidos consecutivos se denominan semitonos. Cuando ascendemos en la escala, el convenio implica utilizar el símbolo del sostenido (#) para indicar que la nota es un semitono mayor que la de partida. Sin embargo, al descender, se emplea el símbolo del bemol (Ƅ).

En la escala cromática, la quinta del lobo se manifiesta en el intervalo entre sol sostenido y mi bemol, generando una incongruencia entre las notas sol sostenido y la bemol, pues se hacen coincidir como si se tratase de la misma nota, aunque tengan frecuencias diferentes debido al valor residual de la coma pitagórica.

Una manera gráfica de observar los intervalos consiste en realizar una representación mediante una espiral logarítmica, donde la frecuencia de cada sonido se corresponde con $r=2^{\frac{\theta}{2\pi}}$, con $r$ la proporción de la frecuencia de un intervalo específico. De esta forma, retomamos la nota de do (a distintas frecuencias, más graves o agudas) cada vez que el ángulo se hace cero o $2 \pi k$. Además, se puede observar que dos ángulos iguales se corresponden con un mismo intervalo. Si queremos hallar el ángulo al que se encuentra una quinta, operamos de la siguiente forma:

$$\theta=2\pi\log_{2} \left(\frac{3}{2} \right) \approx 1.17 \, rad.$$

De esta forma, hemos construido la escala completa con la que se realizan la mayor parte de las composiciones de música occidental, partiendo, únicamente, de argumentos puramente matemáticos.

2. El clave bien temperado

La afinación pitagórica generaba un problema al tratar con la quinta del lobo. En instrumentos de cuerda, la coma pitagórica puede ser paliada siguiendo el método expuesto en la sección previa. En un instrumento de cuerda, pongamos como ejemplo el violín o un chelo, las frecuencias que se pueden producir son ilimitadas pues dependen de la colocación del dedo sobre la cuerda. De este modo, se pueden conservar las relaciones interválicas de la escala diatónica sin importar la quinta del lobo. En el momento en que se necesite tocarla, la afinación se puede ajustar en el momento, desplazando el dedo levemente hacia arriba o hacia debajo de la cuerda.

Sin embargo, en los instrumentos de afinación fija como el piano, la distancia entre dos notas es inalterable (las teclas producen sonidos concretos que no se pueden modificar), dificultando el cambio de tonalidad al arrastrar el valor residual de la quinta del lobo.

Ante este problema, en la época de Bach (1685-1750), se desarrolló el temperamento bueno o temperamento igual. Consistía en un método de afinación del instrumento tal que la distancia entre los sonidos de todas las teclas contiguas fuera la misma. De esta forma, era posible modular a cualquier tonalidad sin requerir un reajuste de afinación previo.

Analizando este problema desde un punto de vista matemático, lo que queremos es conseguir que la distancia entre las doce notas de la escala cromática sea la misma. Si partimos de la primera nota con una frecuencia 1 y queremos que la distancia sea un valor x constante, entonces la frecuencia de la segunda nota debe ser $x$, la de la tercera debe ser $x^{2}$ y así sucesivamente hasta completar la escala. El do de frecuencia 2, se correspondería con $x^{12}=2$.

De este modo, obtenemos los siguientes factores por los que hay que multiplicar a la frecuencia de la primera nota para construir la escala temperada

$$1,\sqrt[12]{2},(\sqrt[12]{2})^{2},(\sqrt[12]{2})^{3},(\sqrt[12]{2})^{m}$$

donde $m$ es un número natural $m = 0, 1, 2, \dots, 10, 11, 12$. Obtenemos, así, la función

$$f_{m}=f_{0}(\sqrt[12]{2})^{m}.$$

A partir de esta nueva técnica de afinación o temperamento, nació El clave bien temperado (Das wohltemperierte Klavier, en alemán), una de las obras maestras de Johann Sebastian Bach. Consta de dos ciclos de preludios y fugas compuestos en todas las tonalidades mayores y menores de la escala cromática o dodecafónica. De esta forma, se podían interpretar los preludios y fugas de manera continuada, sin peligro de la aparición de disonancias debido a la coma pitagórica y a la quinta del lobo al modular a otra tonalidad.

3. Conclusión

En el siglo VI a.c, la Escuela Pitagórica construyó, mediante puros argumentos matemáticos, una estructura musical que conformaba un entorno sonoro específico, un conjunto de doce notas que ha acompañado a la humanidad hasta nuestros días. Doce frecuencias que se han entrelazado con la maraña que conforman nuestras vidas. Desde el tono de llamada de nuestro móvil, pasando por la música de caja del Mercadona, hasta nuestras canciones más íntimas.

Potencias, logaritmos y proporciones aritméticas. La banda sonora de nuestra vida fue compuesta mucho antes de nuestra llegada a este mundo, y seguirá sonando cuando no estemos para escucharla. Nuestra deuda insalvable con las matemáticas.

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1. J. MULERO, L. SEGURA, J. M. SEPULCRE, El secreto de los números. Editorial Universidad de Alicante (2017). ISBN 9788497174909. p. 11. https://www.enchufa2.es/archives/musica-y-matematicas-la-afinacion-pitagorica-el-origen-de-la-escala-cromatica.html ↩︎

2. https://planetamusik.com/blog/escala-musical/, consultado el 11 de Septiembre de 2021. ↩︎

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