Cerca de la Esfera

1. Introducción

Estás en el aeropuerto de camino a ver los Juegos Olímpicos de 2016 en Río de Janeiro. Pasas los controles de seguridad y decides tomar rumbo a tu puerta de embarque, pero la facturación había ido muy rápido y al leer el monitor ves que tu vuelo no tiene una asignada. Todavía tienes unos 40 minutos antes de saber a dónde tienes que ir. Con la intención de echar el rato exploras el aeropuerto, y afortunadamente ves una exposición sobre la historia del transporte aéreo. Sin nada que hacer, te animas a echarle un vistazo, al fin y al cabo queda un buen rato hasta que a tu vuelo le asignen una puerta de embarque.

La exposición comienza enumerando algunas características que todas las aves voladoras comparten: sus esqueletos son duros y huecos, tienen cola, un par de alas con una particular geometría, y más de un 15 % de su masa corporal está dedicada a los dos músculos que les permiten aletear. Los animales que no satisfacen estas características demuestran ser poco hábiles en el aire. Algunos ejemplos incluyen los manatíes, las ballenas azules, o las cabras de Manganeses de la Polvorosa (Zamora). El curso de la exposición continúa con los inicios del vuelo en lo referente al ser humano. Innumerables son los ejemplos de personas que decidieron saltar desde una gran altura equipadas con alas artificiales, normalmente hechas con plumas o capas rígidas. Lejos de volar, al menos sí conseguían caer con estilo. Conforme se fueron entendiendo mejor los conceptos de sustentación, estabilidad y control, las máquinas utilizadas fueron poco a poco tomando la forma de los aviones que conocemos hoy en día. Los primeros diseños exitosos recuerdan a la apariencia de un pájaro: tienen dos grandes alas, una cola y son prácticamente huecos, y los aviones modernos (que vuelan extremadamente bien) mantienen la mayoría de estos rasgos.

Tras finalizar la exposición escuchas por la megafonía del aeropuerto que tu vuelo tiene por fin asignada una puerta de embarque. De camino al avión te preguntas si todos los objetos que comparten las propiedades de los pájaros o de los aviones son, de alguna manera, mejores que el resto a la hora de sostenerse en el aire. Sin embargo, antes de hacer ningún avance en la pregunta, estás dentro del avión y la idea de ver películas hasta quedarte dormido durante el vuelo te seduce mucho más.

Unos días después, ya en Río de Janeiro, observas con atención los eventos deportivos. En particular despiertan tu interés los 100 metros lisos: te hacen preguntarte si en algún momento alguien alcanzará una mejor marca posible, insuperable. Si eso fuera posible ¿quién lo conseguiría?, te preguntas. De vuelta en el aeropuerto de Río de Janeiro recuerdas la exposición, y enseguida se te viene a la cabeza la carrera del día anterior: a simple vista todos los ganadores comparten ciertos rasgos. Una rápida búsqueda en internet revela que todos los corredores de sprint tienen ciertas cualidades en común. Sus extremidades son ligeras y sus fibras musculares son largas y de contracción rápida. En el mismo sitio web ves que por otro lado, para correr grandes distancias se necesita tener muy poca grasa corporal y fibras musculares cortas y de contracción lenta. Te preguntas entonces: si hubiera un corredor de sprint (o maratones) óptimo, es decir, que hiciera el mejor tiempo posible, ¿tendría que tener estos mismos rasgos? Inmediatamente te das cuenta de que esta misma pregunta la puedes formular en el contexto de los aviones: si hubiera un objeto volador óptimo (que gaste la menor energía en relación a su tamaño o peso), ¿compartiría las propiedades estructurales de los pájaros y de los aviones?

Enseguida embarcas en el avión, no sin esta vez haberle dado una vuelta al tema. Se te ocurre que esta misma pregunta se puede formular en muy distintos contextos, y guardas un recordatorio en el móvil para volver a pensar más tarde en esta cuestión. Después de unos días, ya recuperado del jet lag y comiendo con un amigo, salta el recordatorio y empezáis a comentarlo. Él, que se dedica a las matemáticas, te explica que a lo que le estuviste dando vueltas es un asunto conocido en su área como la estabilidad de un problema, y procede a explicártelo. Inmediatamente lamentas haber sacado el tema cuando tu amigo coge un papel y un boli y se pone a dibujar círculos y esferas y a hablar de la desigualdad isoperimétrica.

2. Estabilidad

En análisis, geometría, cálculo de variaciones, ecuaciones en derivadas parciales y muchas más áreas de las matemáticas, las desigualdades funcionales o geométricas aparecen continuamente. Algunos ejemplos son la desigualdad isoperimétrica o la desigualdad de Sobolev. La cuestión de estabilidad se formula entonces de la siguiente manera.

Supongamos que tenemos una desigualdad funcional cuyos minimizadores (funciones para las que se da la igualdad) son conocidos. ¿Se puede probar, de una manera cuantitativa, que si una función “casi admite la igualdad” entonces debe de estar cerca, en algún sentido, de ser minimizadora?

A menudo a los objetos que alcanzan la igualdad se les dice óptimos. Este tipo de problemas no nacen siempre de un capricho matemático. Con frecuencia surgen de problemas físicos, como ocurre con la deformación de cristales elásticos bajo el aporte de energía. Imaginemos que tenemos un cristal y le aplicamos calor. Si queremos averiguar cuánto cambia la forma del cristal, tenemos que resolver un problema de estabilidad. También tienen gran utilidad computacional: es muy difícil que un ordenador pueda trabajar con los objetos óptimos. En su lugar se usan aproximaciones, y para asegurarnos de que las aproximaciones son buenas, necesitamos que haya estabilidad.

A priori, al enfrentarnos a un problema de este tipo surgen dos cuestiones de interpretación. En primer lugar es necesario precisar la forma de medir cuándo se adquiere la igualdad por un margen pequeño, así como concretar qué significa que una función esté cerca de ser óptima. Podemos ilustrar estas ideas sobre el anterior ejemplo. Si hubiera un corredor de sprint óptimo, entonces sin duda sería aquél que hiciera los 100 metros lisos en el menor tiempo posible: nadie en el mundo puede nunca superar su marca. El “funcional” aquí asigna a cada persona su mejor marca, y conseguir un tiempo cercano al del corredor óptimo correspondería a casi alcanzar la igualdad. Por otro lado, la distancia que establece la diferencia entre dos corredores mediría de alguna manera las diferencias en sus fibras musculares, su peso, sus características físicas, etc.

El primero de estos dos problemas casi siempre se puede solucionar definiendo un funcional de déficit $\delta$ para la desigualdad. Esto consiste en reorganizar los términos de la desigualdad de manera que $\delta(f)\geq0$ para cualquier función sobre la que actúe el funcional, consiguiendo la igualdad $\delta(f)=0$ si y solo si $f$ es óptima. Esta última parte viene de haber caracterizado los casos en los que se alcanza la igualdad. El segundo problema suele ser algo más complicado y requiere pensar en cómo son los objetos con los que estamos trabajando. En la desigualdad de Sobolev, por ejemplo, trabajamos con unas funciones en $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ particulares. En este caso, la distancia con la que medimos si $f$ está cerca de ser óptima depende de la distancia en $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ entre $f$ y la función óptima que más cerca queda de $f$. Es decir, utilizamos una distancia que ya viene dada por el espacio donde trabajamos.

Finalmente queda por encontrar alguna relación entre $\delta(f)$ y su distancia a la función óptima más cercana, digamos $d(f)$. Lo que buscamos es ver que si $\delta(f)$ es pequeño, entonces $d (f)$ tiene que ser pequeño también. Una forma particular de conseguir esto es si tiene lugar una expresión del estilo de

$$d(f)\leq C \delta(f)^{\alpha},$$

donde $C$ es una constante positiva y $\alpha$ es un exponente positivo adecuado, sea quien sea la función $f$. Quizá el ejemplo más ilustrativo e intuitivo de estabilidad lo podemos encontrar en la desigualdad isoperimétrica.

3. La desigualdad isoperimétrica

La desigualdad isoperimétrica es la expresión analítica de un principio clásico y muy intuitivo en el cálculo de variaciones: de entre todos los conjuntos del plano con idéntica área, el círculo es el que minimiza el perímetro. Equivalentemente, es el círculo el conjunto que mayor área encierra de entre todos aquellos con igual perímetro. El problema de encontrar estos conjuntos es clásico y conocido desde hace muchísimos años. Los griegos ya sabían que el círculo era la solución en el plano, pese a no haber dado una prueba rigurosa. Prueba de ello es que en la Eneida de Virgilio aparece un problema relacionado en el que la princesa Dido astutamente utiliza un semicírculo y la línea de costa para encerrar el mayor área posible donde fundar la ciudad de Cartago (actualmente en Túnez). Así mismo, en la naturaleza, al estudiar las formas de las burbujas de jabón, los planetas, estrellas gaseosas o las gotas de agua acabamos llegando a un problema isoperimétrico.

Curiosamente, fue largo el tiempo (más específicamente unos 2.000 años) que pasó hasta que se obtuvo una prueba completa de la desigualdad isoperimétrica. Uno de los principales problemas es que si $E \subset \mathbb{R}^{n}$ es un conjunto medible, no es sencillo a priori decir cuál es su perímetro. Por ejemplo, si $B$ es la bola de radio 1 en el plano, y $P(E)$ es el perímetro de $E \subset \mathbb{R}^{n}$, que definimos (usando la medida de Hausdorff 1-dimensional) como la longitud del borde de $E$, $P(E) = \mathcal{H}^{1}(\partial E)$, entonces claramente $P(B) = 2\pi$. Si a $B$ le añadimos un punto, el perímetro no cambia. Con una cantidad finita de puntos ocurre lo mismo, y la intuición sugiere que en general esto lo podríamos extender a cualquier conjunto numerable, e incluso de medida nula. Sin embargo, si $E = B \cup \mathbb{Q}^{2}$, es decir, la bola de radio 1 junto con todos los puntos del plano con coordenadas racionales, entonces $\mathcal{H}^{1} (\partial E) = \infty$, y el perímetro de $E$ resultaría ser $\infty$ en lugar de $2\pi$.

Hoy en día una de las formas de resolver este tipo de cuestiones es utilizando la teoría de conjuntos de perímetro finito que desarrolló el matemático italiano Ennio De Giorgi en las décadas de 1950 y 1960. Su trabajo partía de la base a sentada por Renato Cacciopoli, que introdujo estos conjuntos por primera vez en 1927. En resumen, todos los conjuntos medibles tienen una “frontera reducida”, $\partial^{*}E$, que actúa como la frontera de $E$ en términos del perímetro: consiste en todos los puntos de $E$ que contribuyen a una medida intrínseca de $E$ conocida como medida de Gauss-Green (en el ejemplo anterior $\partial^{*}E=\partial B$). Además, $\partial^{*}E$ admite un vector normal exterior a $E$ en cada uno de sus puntos. Con ello, definimos el perímetro de un conjunto medible $E \subset \mathbb{R}^{n}$ como

$$P(E) = \mathcal{H}^{n-1}(\partial^{*}E).$$

Utilizando las herramientas de la teoría de De Giorgi es posible probar la desigualdad isoperimétrica en $\mathbb{R}^{n}$, llegando a la conclusión de que para todo conjunto medible $E \subset \mathbb{R}^{n}$ con volumen finito, es decir $|E| < \infty$, se tiene

$$n|B|^{\frac{1}{n}}|E|^{\frac{n-1}{n}} \leq P(E),$$

donde $B$ es la bola unidad en $\mathbb{R}^{n}$. Además, la igualdad se alcanza si y solo si $E$ es una bola salvo por conjuntos de volumen 0 (y es de ahí de donde viene la constante $n|B|^{\frac{1}{n}}$ en el lado izquierdo de la desigualdad).

4. Estabilidad de la desigualdad isoperimétrica

La desigualdad isoperimétrica admite también la pregunta de estabilidad. Como las bolas caracterizan los conjuntos óptimos para la desigualdad, lo que queremos saber es si un conjunto cualquiera que casi sea óptimo (es decir para el que la igualdad no se alcance por un pequeño margen) tiene que ser parecido en algún sentido geométrico a una bola. Intuitivamente la respuesta es casi inmediata: ¡sí! Si cogemos una bola y la perturbamos un poco, su perímetro no puede variar mucho, y su volumen tampoco. Ambos lados de la desigualdad variarían poco, y si bien la igualdad no se alcanza, sería por un ligero margen. Para empezar a resolver esta cuestión es necesario especificar qué significa que un conjunto casi alcance la igualdad, y qué queremos decir con que sea parecido a una bola.

Para lo primero podemos buscar el funcional de déficit adecuado usando la propia desigualdad. Lo que le pedimos es que nos devuelva una medida positiva de cuánto se desvía $E \subset \mathbb{R}^{n}$ de ser óptimo (independientemente de su volumen), de manera que buscamos tener un 0 en el lado izquierdo de la desigualdad. Para ello, podemos dividirla por $n |B|^{\frac{1}{n}} |E|^{\frac{n-1}{n}}$, y restar 1, consiguiendo

$$0 \leq \frac{P(E)}{n |B|^{\frac{1}{n}} |E|^{\frac{n-1}{n}}} - 1.$$

El lado derecho es por tanto un funcional que vale 0 únicamente cuando $E$ es una bola, y si no, es positivo. Además, si la diferencia entre ambos lados de la desigualdad isoperimétrica es grande, el funcional es grande, y si es pequeña, es pequeño. Así, definimos el déficit isoperimétrico de un conjunto $E \subset \mathbb{R}^{n}$ como

$$\delta(E) = \frac{P(E)}{n |B|^{\frac{1}{n}} |E|^{\frac{n-1}{n}}} - 1.$$

La desigualdad isoperimétrica se traduce en estos términos a que $\delta(E) \geq 0$ y la igualdad se da si y solo si $E$ es una bola. Por tanto, tomaremos $\delta(E)$ como una forma de medir cuan cerca está $E$ de ser óptimo en la desigualdad isoperimétrica.

Pasando al segundo asunto, si queremos decir cuándo un conjunto $E$ es parecido a una bola, tenemos que relacionar $E$ y una bola $B(x, r) = x + rB$ geométricamente. Como no queremos excluir casos irregulares, tenemos que llevar a cabo esta tarea sin utilizar herramientas demasiado sofisticadas. La clave es ver qué partes de $E$ y $B$ los hacen conjuntos distintos, es decir, cómo son $E \backslash B(x, r)$ y $B(x, r) \backslash E$. Podemos agrupar estos dos conjuntos en lo que conocemos como diferencia simétrica de $E$ y $B(x, r)$,

$$E \bigtriangleup B(x, r) = (E \backslash B(x, r)) \cup (B(x, r) \backslash E).$$

Con esa idea, definimos la asimetría de E como

$$A(E) = inf\left\{ \frac{|E|\bigtriangleup B(x, r))}{|E|}: x \in \mathbb{R}^{n}, r^{n}|B| = |E| \right\}.$$

Con la condición $r^{n}|B| = |E|$ primero imponemos que la bola $B(x, r)$ tenga el radio adecuado para que tanto ella como $E$ tengan el mismo volumen. A continuación, el ínfimo valora cuál es la mejor elección de $x \in \mathbb{R}^{n}$ que podemos hacer para el centro de $B(x, r)$ de manera que la región donde coinciden los dos conjuntos sea lo más grande posible. Es decir, $A(E)$ mide, en relación con el volumen de $E$, el volumen de la diferencia entre $E$ y la bola de igual volumen que mejor lo aproxima.

Precisamente sobre este problema de estabilidad trabajaron por primera vez los matemáticos Felix Bernstein [Be], Tommy Bonnesen [Bo] y Robert Osserman [Os]. El conjunto de sus trabajos completan el estudio de estabilidad en dimensión $n = 2$ (en el plano), con un resultado positivo: si un conjunto $E$ del plano casi admite la igualdad, entonces es geométricamente parecido a una bola. La dirección obvia en la que debían dirigirse los siguientes intentos era generalizar el trabajo de Bernstein, Bonnesen y Osserman a distintas dimensiones. Sin embargo esta tarea requiere de ideas y técnicas nuevas. El siguiente avance fue gracias a Bent Fuglede, que probó una versión cualitativa de estabilidad en cualquier dimensión en el caso particular de conjuntos convexos [Fu]. Fuglede no trabajó con la asimetría que hemos descrito nosotros, y su estudio no es general en el sentido de que no muestra que los conjuntos no convexos sean estables. No fue hasta un par de años más tarde que se encontraron las herramientas adecuadas para atacar el problema en total generalidad.

El primer resultado completo fue probado en los años noventa por Richard Hall, Walter Hayman y Allen Weitsman. Hall [Ha] probó que siempre que $E \subset \mathbb{R}^{n}$ es un conjunto con simetría axial, se tiene

$$A(E) \leq C(n) \delta(E)^{\frac{1}{2}},$$

donde $C(n)$ es una constante positiva que depende de la dimensión $n$. Esta desigualdad significa que si $\delta(E)$ es muy pequeño (es decir si $E$ es casi óptimo), el lado derecho es muy pequeño a su vez, y por tanto el lado izquierdo también lo será, y $E$ se parece geométricamente a una bola: los puntos que diferencian a $E$ de ser una bola acumulan muy poco volumen. El problema ahora consiste en extender esto a cualquier $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Es fácil conseguir un conjunto con simetría axial a partir de un conjunto medible arbitrario. Un ejemplo de esto es una técnica llamada simetrización de Schwarz, que dado un conjunto medible $E \subset \mathbb{R}^{n}$, devuelve otro conjunto $E^{*}$ de igual volumen, menor perímetro y simétrico respecto a una dirección especificada a priori. La tarea de aplicar este proceso es sencilla, pero es más complicado hacerlo mientras mantenemos el control sobre las cantidades $A(E)$ y $\delta(E)$, ya que si no somos capaces de relacionarlos exitosamente con $A(E^{*})$ y $\delta(E^{*})$, no vamos a poder aprovechar la estabilidad de $E^{*}$ para probar la de $E$. De este problema se ocuparon Hall, Hayman y Weitsman conjuntamente [HHW]. Entre los tres consiguieron demostrar la desigualdad de reducción

$$A(E) \leq C(n)A(E^{*})^{\frac{1}{2}}, \delta(E) \leq \delta(E^{*}).$$

Juntando esto con el resultado de Hall se obtiene el primer resultado general, que establece que si $E$ es un conjunto medible en $\mathbb{R}^{n}$, entonces

$$A(E) \leq C(n)\delta(E)^{\frac{1}{4}}.$$

Sin embargo la historia no acaba aquí. Hay dos puntos en los que podemos intentar mejorar este resultado. El primero es la constante $C(n)$, sobre la que no tenemos ningún control. El segundo punto es el exponente $\frac{1}{4}$ que acompaña a $\delta(E)$. Un exponente mayor significa una mejor cota: si $\delta(E)$ es muy pequeño, $\delta(E)^{\frac{1}{2}}$ es mucho más pequeño que $\delta(E)^{\frac{1}{4}}$, así que conseguiríamos una mejor desigualdad.

En esta última dirección mejoraron el problema los matemáticos italianos Nicola Fusco, Francesco Maggi y Aldo Pratelli [FMP]. En 2008 publicaron un artículo en el que mostraban que de hecho el mejor exponente es $\frac{1}{2}$, y si $E$ tiene medida positiva en $\mathbb{R}^{n}$, entonces

$$A(E) \leq C(n)\delta(E)^{\frac{1}{2}}.$$

Hay dos elementos importantes en este resultado. El primero es el exponente $\frac{1}{2}$: no se puede mejorar. La manera de comprobar esto es consiguiendo una familia de conjuntos $\left\{ E_{\epsilon} \right\}_{\epsilon>0}$, que tienden a la bola $B$ en $\mathbb{R}^{n}$ conforme $\epsilon$ tiende a 0, de manera que $A(E_{\epsilon})$ y $\delta(E_{\epsilon})$ tiendan a 0 a la misma velocidad. Un ejemplo de tal familia son los elipsoides

$$E_{\epsilon} = \left\{ x \in \mathbb{R}^{n}: (1 + \epsilon) x_{1}^{2} + \sum_{i=2}^{n} x_{i}^{2} \right\}, \epsilon \rightarrow 0.$$

La otra parte clave del artículo consiste en las varias ideas empleadas para mejorar el resultado de Hall, Hayman y Weitsman. Sus técnicas incluían reducir el problema de muchas formas con el objeto de únicamente tener que probar la estabilidad para conjuntos extremadamente buenos. En particular, la idea principal que permite mantener el mejor exponente es introducir un paso intermedio al reducir de conjuntos medibles cualesquiera a conjuntos con simetría axial. En esencia, N. Fusco, F. Maggi y A. Pratelli se dieron cuenta de que el salto que llevaba desde $E$ hasta $E^{*}$ era excesivamente grande, y no les permitía controlar $A(E)$ y $\delta(E)$ adecuadamente. De ahí sale el exponente $\frac{1}{2}$ en la desigualdad de reducción $A(E) \leq C(n)A(E^{*})^{\frac{1}{2}}$ probada en [HHW]. Para conseguir el control adecuado, Fusco, Maggi y Pratelli dieron un paso intermedio desde $E$ hasta un conjunto con otro tipo de simetría, y desde ahí a otro conjunto con simetría axial, sin perder información sobre el exponente en ninguno de los dos pasos.

Finalmente, como el problema queda reducido a los conjuntos $E \subset \mathbb{R}^{n}$ simétricos respecto de un eje, a efectos prácticos el objeto que tratamos depende únicamente de un parámetro: el eje de simetría, que podemos elegir como el eje $x_{1}$. Es aquí cuando introducen otra herramienta particularmente útil. Se trata de una parametrización de la bola unidad $B$ en términos del conjunto $E$ que se inspira en la prueba de la desigualdad isoperimétrica dada por el matemático franco-ruso Mijaíl Gromov. Lo primero a tener en cuenta es la función $\tau$ que satisface $|E \cap \{x_{1} < t\}| = |B \cap \{x_{1} < \tau(t)\}|.$

En otras palabras, el volumen que $E$ acumula cuando $x_{1} < t$ es el mismo que el que acumula la bola unidad cuando $x_{1} < \tau(t)$, para $t \in \mathbb{R}^{n}$. A partir de aquí, la idea consiste en encontrar una aplicación $T$ que envía cada corte de $E$ con el hiperplano $\{x = t\}$ (es decir la sección $E_{t}$) al corte de $B$ con $x_{1} = \tau(t)$ (es decir $B_{t}$). A continuación, como $E_{t}$ es una bola en dimensión $n - 1$ por ser $E$ simétrico respecto del eje, y $B_{t}$ también lo es, la construcción de la aplicación $T$ se completa mandando la bola $E_{t}$ a la bola $B_{t}$ de manera lineal.

La aplicación $T$ acaba siendo muy especial, resulta ser un mapa de transporte. Esto quiere decir que $T$ manda $E$ a $B$ y medir conjuntos en $B$ es lo mismo que medirlos en $E$ con la ayuda de $T$. Digamos que $T$ transporta la medida de $E$ a la de $B$. A partir de aquí, Fusco, Maggi y Pratelli consiguieron relacionar $E \Delta B$ con $\delta(E)^{\frac{1}{2}}$ analizando cuidadosamente la aplicación $T$ para probar la estabilidad de la desigualdad isoperimétrica con el mejor exponente posible.

5. La desigualdad isoperimétrica como problema de transporte

Un par de años después de la publicación de [FMP], Maggi y Pratelli volvieron a publicar, esta vez junto con Alessio Figalli, otro importante resultado de estabilidad para una generalización de la desigualdad isoperimétrica [FiMP].

La desigualdad isoperimétrica anisotrópica surge de una nueva forma de interpretar el perímetro. Si $K$ es un conjunto acotado, convexo, abierto y que contiene al origen en $\mathbb{R}^{n}$ para $n \geq 2$, podemos pensar en él como una nueva forma de “pesar” las direcciones en $\mathbb{R}^{n}$. Por ejemplo, si $K$ es muy alargado en la dirección $v$ (aquí $v \in \mathbb{S}^{n-1}$ representa una dirección), entonces el perímetro anisotrópico de un conjunto $E \subset \mathbb{R}^{n}$, $P_{K}(E)$ será mayor cuanta más grande sea la parte de $\partial^{*}E$ que es perpendicular a $v$. Si $K$ es $B$, la bola unidad, entonces recuperamos el perímetro clásico y cada dirección es asignada el mismo peso.

Resulta que en este contexto tenemos también una desigualdad isoperimétrica, que establece que si $E$ es un conjunto con volumen finito en $\mathbb{R}^{n}$, entonces

$$n |K|^{\frac{1}{n}} |E|^{\frac{n-1}{n}} \leq P_{K}(E),$$

y si $E$ es de la forma $x + rK$, para $r > 0$ y $x \in \mathbb{R}^{n}$, entonces se da la igualdad. El perímetro anisotrópico es la base de muchos modelos físicos sobre la forma de los cristales elásticos, y si esta nueva desigualdad fuera estable, a nivel físico eso significaría que la forma de un cristal no puede variar demasiado al ser aportado una pequeña cantidad de energía (por ejemplo, en forma de calor).

El primer resultado de estabilidad para esta nueva versión de la desigualdad isoperimétrica lo consiguieron los matemáticos italianos Luca Esposito, Cristina Trombetti y, de nuevo, Nicola Fusco en 2005 [EFT]. Su resultado, sin embargo, no era el mejor. De nuevo el exponente de $\delta(E)$ podía ser mejorado, y la constante $C(n, K)$ que acompañaba al déficit era también dependiente del conjunto $K$, no únicamente de la dimensión. Años después, Figalli, Maggi y Pratelli consiguieron mejorar este resultado. El teorema que demostraron establece que si $E$ es un conjunto medible en $\mathbb{R}^{n}$ y $K$ es como hemos descrito antes, entonces

$$A(E) \leq C(n)\delta(E)^{\frac{1}{2}},$$

donde $\delta(E)$ es ahora el déficit para la nueva desigualdad, que se obtiene de manera idéntica a como se hace en la versión clásica, y $A(E)$ es la nueva asimetría, definida como

$$A(E) = \left\{ \frac{|E|\bigtriangleup (x + rK)}{|E|}: x \in \mathbb{R}^{n}, r^{n}|K| = |E| \right\}.$$

Además, resulta que el exponente $\frac{1}{2}$ es el mejor posible, igual que en el caso clásico.

A la hora de desarrollar las ideas que les llevaron a una prueba de este resultado, un gran problema con el que se encontraron Figalli, Maggi y Pratelli fue que la estrategia seguida en el caso clásico ya no funcionaba. La razón era la total simetría de la que goza una bola. Reducir un conjunto cualquiera $E \subset \mathbb{R}^{n}$ a otro simétrico respecto a un eje no resultaba ser útil porque $K$ podría no ser simétrico. Una forma de atacar el problema es fijar una dirección $v$ en $\mathbb{R}^{n}$ y analizar lo que ocurre con $E \Delta K$ a lo largo de $v$ utilizando un mapa de transporte parecido a $T$, llamado transporte de Knothe. Mediante esta técnica es posible establecer la estabilidad, pero de manera similar a lo que ocurre en [HHW], el resultado al que se llega no es óptimo, al ser necesario repetir la estrategia para cada dirección $v$ distinta. En el caso clásico esto sí funciona porque únicamente es necesario analizar una dirección, al haber reducido el problema a los conjuntos simétricos respecto a un eje.

La innovadora idea que el grupo puso sobre la mesa fue utilizar la teoría de transporte óptimo. Esta surge del problema de encontrar la forma más barata de transportar una distribución de masa de un lugar a otro. Fue el matemático francés Gaspard Monge quien primero planteó esta pregunta en 1781, cuando intentaba encontrar el mejor método para mover tierra de una excavación pagando el menor precio posible. Más tarde, durante la Segunda Guerra Mundial el matemático y economista soviético Leonid Kantorovich fue quien realizó los mayores avances en el tema, gracias a lo cual hoy en día se conoce como el problema de Monge-Kantorovich. En resumidas cuentas, dadas dos medidas de probabilidad $\mu$ y $v$ en $\mathbb{R}$, el problema de Monge-Kantorovich consiste en encontrar una aplicación $T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ que transporte $\mu$ a $v$ y minimice el coste de transporte.

En términos matemáticos, que $T$ transporte $\mu$ a $v$ significa simplemente que la medida imagen por $T$ de $\mu$, denotada por $T_{\#}\mu$, sea igual a $v$. Esta medida $T_{\#}\mu$ viene definida sobre los conjuntos de Borel $A \subset \mathbb{R}^{n}$ por

$$T_{\#}(A) = \mu(T^{-1}(A)).$$

El coste de transporte corresponde a una función $c: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow [0, \infty]$, que indica el precio a pagar $c(x, y)$ para mover masa entre un punto $x$ y otro punto $y$. El problema se traduce por tanto al de encontrar $T$ que materialice el ínfimo

$$inf \left\{ \int_{\mathbb{R}^{n}} c(x, T(x)) d\mu(x): v = T_{\#}\mu \right\}.$$

Si existe, entonces se conoce como mapa de transporte óptimo entre $\mu$ y $v$.

Para resolver el problema que introduce la construcción de Knothe en la prueba de estabilidad de la desigualdad isoperimétrica en el nuevo contexto, Figalli, Maggi y Pratelli utilizaron uno de los resultados más importantes de esta teoría: el Teorema de Brenier, probado por el matemático francés Yann Brenier. Este teorema precisamente asegura la existencia de un mapa de transporte óptimo bajo ciertas condiciones cuando el coste es $c(x, y) = |x - y|^{2}$. Lo que hicieron con el problema fue restringir la medida de Lebesgue a los conjuntos $E$ y $K$, consiguiendo las medidas de probabilidad

$$\mu E = \frac{\mathbb{I}_{E}}{|E|}dx \;\;\;\; y \;\;\;\; \mu K = \frac{\mathbb{I}_{K}}{|K|}dx.$$

Si $\delta(E)$ es muy pequeño, entonces heurísticamente $E$ debería ser muy parecido a $K$, y por tanto lo razonable sería que el mapa de Brenier entre $\mu_{E}$ y $\mu_{K}$ fuera muy parecido a la identidad, ya que minimizar el coste entre $x$ y $T(x)$ es similar a minimizar la distancia entre dichos puntos. Esta heurística, junto con la prueba de Gromov de la desigualdad isoperimétrica, les permitió relacionar la diferencia entre el mapa de Brenier $T$ y la función identidad con el déficit isoperimétrico de $E$,

$$\int_{E}|\bigtriangledown T - id| \leq C(n, K)\delta(E)^{\frac{1}{2}}.$$

Para relacionar el lado izquierdo con $A(E)$, la idea que tuvieron fue utilizar un tipo de desigualdad de Sobolev, y sustituir el gradiente de $T$ por el propio $T$. Con esto consiguieron la estimación

$$\int_{\partial^{*}E}|1 - \left\| x \right\|| \left\| v_{E}(x) \right\|_{*} d \mathcal{H}^{n-1}(x) \leq C(n, K)\delta(E)^{\frac{1}{2}},$$

donde $vE$ es el vector normal exterior a $E$ en $x \in \partial^{*}E$ y

$$x = inf \left\{ \lambda > 0: \frac{x}{\lambda} \in K \right\}, \;\;\;\; \left\| x \right\|_{*} = sup \left\{ x \cdot y: \left\| y \right\| < 1 \right\}.$$

El último paso consistió en mostrar que esta última integral controla $|E \backslash K|$ y consecuentemente $A(E)$. Después de conseguir eliminar la dependencia de $K$ de la constante $C(n, K)$, finalmente obtuvieron el resultado que buscaban. Incluso proporcionaron un valor explícito para la constante $C(n)$, estimando su crecimiento en $n$ como el de un polinomio,

$$C(n) = \frac{181n^{7}}{(2 - 2^{\frac{n}{n-1}})^{\frac{3}{2}}}.$$

Las técnicas que utilizaron Figalli, Maggi y Pratelli en su artículo son ahora de uso estándar en problemas de este tipo, y la teoría de transporte óptimo ha demostrado ser una potente herramienta para atacar una gran variedad de problemas. De hecho, por sus contribuciones a este área y por sus numerosas aplicaciones de las técnicas del transporte óptimo en diversos ámbitos de las matemáticas fue por lo que Alessio Figalli recibió la medalla Fields en 2018.

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[Be] F. Bernstein. Über die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises auf der Kugeloberfläche und in der Ebene. German. Mathematische Annalen 60.1 (1905), págs. 117-136.
[Bo] T. Bonnesen. Über das isoperimetrische Defizit ebener Figuren. German. Mathematische Annalen 91.3 (1924), págs. 252-268.
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