La Dimensión Fractal

1. Introducción

A menudo al escuchar la palabra fractal es fácil imaginar dibujos de estructuras complicadas, simétricas y habitualmente enrevesadas. Con un poco más de ingenio uno recuerda objetos algo más concretos, como los cristales de hielo, el brócoli o las espirales que forman ciertas flores y plantas. Desde la década de 1980, los fractales han ido ganando popularidad tanto en el arte como en la ciencia, y el público ha sido bombardeado con un término que no acaba de quedar claro. ¿Qué es un fractal? ¿Dónde se encuentran los fractales?

2. Autosemejanza

En matemáticas, el término fractal fue acuñado por primera vez por Benoît Mandelbrot, uno de los padres de la geometría fractal. Viene del latín fractus, que significa ‘roto’, con la idea de describir objetos imposibles de estudiar geométricamente mediante las ténicas tradicionales. Algunos ejemplos clásicos incluyen el conjunto de Cantor, la curva de Von Koch y el triángulo de Sierpinski, y entre todos ellos hay una propiedad en común: la autosemejanza.

Estos conjuntos que hemos mencionado son muy relevantes en varias áreas en matemáticas, ya que sirven de ejemplo para ilustrar una enorme variedad de fenómenos. El conjunto de Cantor, por ejemplo, es gigantesco: tiene tantos elementos como números reales. Sin embargo, geométricamente es muy pequeño, ya que en comparación con la recta real, este apenas ocupa lugar (su medida de Lebesgue es 0).

Para construirlo, tomamos el intervalo $[0,1]$ y lo dividimos en tres partes iguales, eliminando la porción central sin incluir sus extremos. Así nos quedamos con los intervalos $[0, \frac{1}{3}]$ y $[\frac{2}{3}, 1]$. Con cada uno de esos intervalos hacemos lo mismo: los dividimos en tres y eliminamos el central. Iterando este proceso con los intervalos restantes de cada paso al final obtenemos el conjunto de Cantor:

El triángulo de Sierpinski se construye de manera similar, pero en el plano. Tomamos un triángulo equilátero de lado 1. Lo dividimos en cuatro triángulos equiláteros y eliminamos el central. Nos quedamos así con tres triángulos equiláteros de lado $\frac{1}{2}$. Realizando este mismo proceso en cada uno de ellos e iterándolo con los resultantes en cada paso acabamos llegando al triángulo de Sierpinski. Además, tanto el conjunto de Cantor como el triángulo de Sierpinski son conjuntos autosemejantes.

En $\mathbb{R}^{n}$, una semejanza de razón $r$ es una aplicación $S: \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ que cumple

$$||S(x) - S(y)|| = r || x - y ||,$$

en particular, $S$ es un movimiento rígido compuesto con una homotecia de razón $r$. Además, dadas $S_{1} , \dots , S_{m}$ semejanzas de razón $r > 0$, decimos que el conjunto $F$ es autosemejante si

$$F=S_{1}(F) \cup \dots \cup S_{m}(F).$$

De hecho, si $r < 1$, $F$ es el único conjunto compacto autosemejante determinado por $S_{1},\dots,S_{m}$.

Visualmente, podemos entender los conjuntos autosemejantes como aquellos que contienen copias de sí mismos: el conjunto de Cantor está formado por dos copias más pequeñas de sí mismo, una en el intervalo $[0, \frac{1}{3}]$ y otra en $[\frac{2}{3}, 1]$, el triángulo de Sierpinski por tres, y la curva de Von Koch por cuatro. Todos estos conjuntos autosemejantes son, en particular, fractales. Sin embargo, no todos los fractales son estrictamente conjuntos autosemejantes.

3. Historia y motivación

La definición de fractal que dio Mandelbrot^[1], hoy en día resulta poco satisfactoria, ya que excluye conjuntos que son considerados fractales. Sin embargo, su visión al respecto era muy innovadora. Antiguamente los matemáticos habían ocupado su tiempo en el estudio de funciones y conjuntos mediante las herramientas clásicas del análisis. Los conjuntos que no eran suficientemente regulares (digamos, cuyo borde no era demasiado suave en alguna escala) habían sido descartados como patológicos. Muchos eran clasificados como curiosidades puntuales y su estudio no se había tomado en serio por la falta de métodos adecuados. La idea de Mandelbrot sugería no descartar estos conjuntos y desarrollar las herramientas adecuadas para estudiarlos en detalle. Para hacernos una idea más clara, veamos el ejemplo práctico en el que Mandelbrot ocupó parte de su tiempo. Si quisiésemos calcular el perímetro de Gran Bretaña, podríamos pensar en ir aproximando la forma de su costa con polígonos de manera cada vez más precisa. Para tener en cuenta hasta el más mínimo detalle, nuestro polígono final no podría ser una curva regular: la costa es suave en muy pocas zonas, y es especialmente irregular en la parte norte. La forma que obtendríamos tendría picos en casi todas partes y a escalas extremadamente pequeñas (es decir, seguiría habiendo picos tras observar el polígono con un potente zoom). ¿Qué necesitaríamos entonces para estudiar el polígono que hemos conseguido?

4. Dimensión

Mandelbrot observó que de los conjuntos autosemejantes es posible extraer una noción robusta de regularidad, más amplia que la que había hasta entonces. Sin embargo, estos conjuntos patológicos van mucho más allá de los conjuntos autosemejantes, y para estudiarlos todos es necesario tratar con otro concepto distinto a la regularidad y a la autosemejanza. Tenemos que hablar de la dimensión de un conjunto.

Para curvas, superficies y en general variedades suaves, el concepto de dimensión es sencillo o al menos intuitivo. Una línea tiene dimensión 1, una superficie, 2 y un objeto sólido, como por ejemplo un cubo, 3. Sin embargo, ¿cuál es, por ejemplo, la dimensión del triángulo de Sierpinski? ¿Tiene sentido plantearse la pregunta anterior? Podemos hacernos una idea heurística de cómo asignar una dimensión a conjuntos autosemejantes. Sigamos el ejemplo de un segmento, un cuadrado y un cubo, todos de lado 1. Los tres son conjuntos autosemejantes: el segmento está formado por dos copias de sí mismo de la mitad de longitud. El cuadrado está formado por cuatro copias de sí mismo, todas ellas tienen como lado la mitad del lado del cuadrado original. De manera análoga, el cubo está formado por ocho cubos cuyos lados son la mitad de largos que los del cubo original. Si establecemos que el número de copias que forman el objeto es $m$ y $r$ es la razón de la dilatación a la que sometemos el objeto para obtener sus copias (aquí $r = \frac{1}{2}$), entonces en los tres casos, la dimensión del objeto viene dada por $d$ en la expresión

$$mr^{d}=1.$$

Si ingeniosamente utilizamos este argumento heurístico con el triángulo de Sierpinski, que se compone de 3 copias dilatadas por un factor de $\frac{1}{2}$, obtenemos $d=\frac{log3}{log2} \approx 1.585...$, y el conjunto de Cantor nos daría una “dimensión” de $d=\frac{log2}{log3} \approx 0.631...$ Intuitivamente, tiene sentido decir que el triángulo de Sierpinski tiene dimensión menor o igual que 2, pues al fin y al cabo es un conjunto del plano. Por otro lado, ocupa más espacio que una curva pese a aparentar estar vacío, luego tiene sentido decir que su dimensión es mayor que 1. Lo mismo ocurre con el conjunto de Cantor, pues tiene medida nula en la recta real pero es un conjunto enormemente grande, tanto como la propia recta real. Lo cierto es que podemos definir un contexto en el cual esto tiene sentido, y para ello necesitamos introducir las medidas de Hausdorff, $\mathcal{H}^{s}$.

Dado un conjunto $E\subset \mathbb{R}^{n}$ y cierto $s > 0$, podemos definir su medida exterior de Hausdorff $s$-dimensional como

$$\mathcal{H}^{s}(E)=\lim_{\delta \to 0}\mathcal{H}_{\delta}^{s}(E),$$

donde

$$\mathcal{H}^{s}_{\delta}(E) = \inf \left\{ \sum_{j \in \mathbb{N}} (\mathrm{diam} \, U_{j})^{s} : E \subset \bigcup_{j \in \mathbb{N}} U_{j}, \, \mathrm{diam} \, U_{j} < \delta \right\}$$

Conviene señalar, entre otras cosas, que esta cantidad siempre existe (y puede ser infinita), que los cubrimientos $U_{j}$ pueden tomarse por abiertos o por cerrados indistintamente, y que $\mathcal{H}^{s}$ es una medida sobre los conjuntos analíticos, y en particular sobre los de Borel^[2].

Podemos interpretar la medida de Hausdorff como una medida dimensional. Es decir, si nosotros tomamos un conjunto $E$ y una dimensión $s \mathcal{H}^{s}(E)$ nos devuelve la medida de $E$ en dimensión $s$ . Por ejemplo, si $E$ es un cuadrado, deberíamos pedir que $s$ sea 2. En caso contrario, el resultado que obtendremos no coincidiría con lo que nos dice la intuición. Una de las características más importantes de la medida de Hausdorff es que nos permite definir rigurosamente el concepto de dimensión de un conjunto. Con él se pueden justificar de una manera más razonable los razonamientos heurísticos que hemos dado antes. Dado un conjunto $E \subset \mathbb{R}^{n}$, podemos encontrar un único número real $s > 0$ para el cual

$$\mathcal{H}^t(E) = \begin{cases} \infty & \text{si } t < s \\ 0 & \text{si } t > s \end{cases}.$$

Esto motiva la definición de la dimensión de $E$ como tal número $s$. Al medir $E$ en dimensiones menores, resulta ser demasiado grande, y si lo medimos en dimensiones mayores, resulta ser demasiado pequeño (de manera similar a como un segmento en el plano tiene medida 0). Finalmente, definimos la dimensión de Hausdorff de $E$ como

$$\dim E = \inf \{ t : \mathcal{H}^t(E) = 0 \}.$$

Con esta definición se puede comprobar que las dimensiones que hemos calculado antes heurísticamente son, en efecto, las dimensiones de Hausdorff de los conjuntos indicados.

5. Definición de fractal

Llegados a este punto, podemos simplemente decir que el término fractal engloba a todos aquellos conjuntos cuya dimensión de Hausdorff es un número no entero. De ellos diremos que tienen dimensión fractal. Lo cierto es que esta definición no es la más utilizada a lo largo de todos los textos por excluir casos notables. En muchos se menciona la dimensión topológica del conjunto, y en otros muchos se requiere autosemejanza de algún tipo con el objetivo de incluir conjuntos que, teniendo dimensión entera, son irregulares a cualquier escala y también son fractales.

En su libro Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications^[3], Kenneth J. Falconer propone interpretar la definición de fractal de manera similar a como un biólogo interpreta la definición de vida. No existe una definición inmediata y concreta, pero sí un conjunto de propiedades que la mayoría de los seres vivos cumplen, como la capacidad de reproducirse, desplazarse y existir hasta cierto punto independientemente del contexto en el que se encuentren. Naturalmente, existen excepciones a esta lista de propiedades. Para los fractales, es interesante contemplar los conjuntos que cumplen algunas de las propiedades siguientes, en lugar de dar una definición precisa que probablemente excluya casos muy interesantes. Por tanto, cuando hablamos de un fractal $F$, tenemos en cuenta las siguientes características:

1. $F$ tiene detalle en escalas arbitrariamente pequeñas.
2. $F$ es demasiado poco regular como para estudiarlo con técnicas de análisis tradicionales.
3. A menudo $F$ tiene alguna forma de autosemejanza, quizá aproximada o estadística.
4. A menudo la dimensión fractal de $F$ es mayor que su dimensión topológica.
5. En muchos casos, la definición de $F$ es simple, quizá recursiva.

6. Ejemplos

En la naturaleza podemos pensar en ejemplos como las costas de Gran Bretaña, Irlanda o Noruega, cuyas formas no son para nada suaves y ocupan mucho más espacio del que parece. Las convoluciones del cerebro, una bola de papel arrugada o la superficie del mar cuando está agitado son ejemplos de fractales naturales, que si bien no llegan a ser fractales matemáticos, su comportamiento puede ser descrito con más precisión mediante estos modelos, y cuyas dimensiones normalmente no son números enteros. En palabras del propio Mandelbrot:

“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.”^[4]

Algunos de los ejemplos más curiosos de fractales en matemáticas surgen en el plano complejo a raíz del análisis de ciertas funciones holomorfas. Estudiando la convergencia de algunos sistemas de funciones iteradas es sencillo encontrar fractales. Los más comunes son los conjuntos de Julia, llamados así en honor al matemático francés Gaston Julia, que fue quien trabajó con ellos por primera vez.

Para definirlos, tomamos un polinomio, $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$, de grado $n \geq 2$, y denotamos por $f^{k}$ la composición de $f$ consigo mismo $k$ veces. La frontera del conjunto

$$K(f) = \{z \in \mathbb{C} : \exists R > 0, |f^{k}(z)| \leq R \, \forall k \in \mathbb{N} \},$$

a menudo llamado conjunto de Julia relleno, es el conjunto de Julia asociado a $f, J(f) = \partial K(f)$. Ambos conjuntos $J(f)$ y $K(f)$ son compactos, no vacíos, no numerables y de hecho $\overline{J(f)}$ tiene interior vacío, lo cual lo convierte en un conjunto diseminado (o de primera categoría), es decir, un conjunto muy pequeño desde un punto de vista topológico^[5].

Es decir, dado un polinomio, $f$, su conjunto de Julia $J(f)$ es el borde de $K(f)$, que consiste en todos los puntos del plano complejo que no se disparan hacia fuera al aplicar $f$ una vez tras otra. Estos conjuntos por lo general son fractales, y su dimensión depende del polinomio que tomemos.

En el caso especial en el que el polinomio $f$ es de la forma

$$f_{c}(z)=z^{2}+c$$

surge otro conjunto muy conocido que también es un fractal. Se trata del conjunto de Mandelbrot, que se define como

$$M = \{ c \in \mathbb{C} : J(f_{c}) \text{ es conexo} \},$$

aunque también admite la siguiente definición, por lo general mucho más conocida y fácil de comprender,

$$M = \{ c \in \mathbb{C} : \exists R > 0, |f^{k}_{c}(0)| \leq R \, \forall k \in \mathbb{N} \}.$$

Esta formulación permite generar imágenes digitales del conjunto de Mandelbrot de manera relativamente sencilla estudiando el módulo de cada $z \in \mathbb{C}$ para el que queremos comprobar si $z \in \mathbb{M}$. Dichas imágenes sugieren que $M$ tiene una forma muy complicada de entender. Además del cardioide central y sus réplicas más pequeñas, se extienden filamentos que a su vez contienen copias más pequeñas del conjunto total. El conjunto de Mandelbrot es conexo y tanto él como su frontera tienen dimensión 2, la misma que el propio plano complejo, lo que refleja su complejidad intrínseca^[6]. Además, en función de en qué zona se encuentre $c$, su conjunto de Julia asociado, $J(f_{c})$, tiene una forma u otra. Las formas más complejas se dan para valores de $c$ que se encuentran en la frontera de $M$, e incluyen conjuntos formados por infinitas curvas que encierran regiones abiertas del plano o conjuntos que consisten en arillos encadenados unos con otros^[7].

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1. B. MANDELBROT, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman and Company (1982), p. 15 ↩︎

2. E. M. STEIN, R. SAKARCHI, Real Analysis, Princeton Univerity Press (2005), p. 323-349 ↩︎

3. K. J. FALCONER, Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications, John wiley & Sons (2003), p. 25 ↩︎

4. B. MANDELBROT, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman and Company (1982), p. 1 ↩︎

5. K. J. FALCONER, Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications, John wiley & Sons (2003), p. 222 ↩︎

6. K. J. FALCONER, Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications, John wiley & Sons (2003), p. 227 ↩︎

7. K. J. FALCONER, Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications, John wiley & Sons (2003), p. 232 ↩︎

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