Un Método Nunca Visto para Obtener la Fórmula de Segundo Grado

La forma habitual para resolver una ecuación de 2º grado

$$ax^{2} + bx + c = 0 \;\;\;\;\;\;\;\; (1)$$

con $a, b, c \in \mathbb{R}$ y $a \neq 0$ es recurrir a la conocida fórmula

$$\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. \;\;\;\;\;\;\;\; (2)$$

Esta fórmula se suele justificar con la técnica de completar el cuadrado o la del cambio de variable. Aquí lo haremos de una forma que no suele aparecer en las referencias habituales.

Partiremos de que las soluciones de (1) pueden ser números complejos, que por ser a, b y c números reales, han de ser conjugados. Es decir, si

$$x = r + is \;\;\;\;\;\;\;\; (3)$$

es solución de (1), la otra solución será $r-is$ con $r, s \in \mathbb{R}$.

Si escribimos la ecuación (1) de forma factorizada obtenemos

$$a(x-r-is)(x-r+is)=0. \;\;\;\;\;\;\;\; (4)$$

Desarrollando esta expresión se llega a

$$ax^{2}-2arx+ar^{2}+as^{2}=0. \;\;\;\;\;\;\;\; (5)$$

Comparando ahora los términos de este resultado con los de (1) se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

$$-2ar=b \;\;\;\;\;\;\;\; (6) \\ ar^{2}+as^{2}=c. \;\;\;\;\;\;\;\; (7)$$

El valor de $r$ se obtiene directamente de (6):

$$r=\frac{-b}{2a}. \;\;\;\;\;\;\;\; (8)$$

Proseguimos sustituyendo (8) en (7), obteniendo:

$$a(\frac{-b}{2a})^{2}+as^{2}=c. \;\;\;\;\;\;\;\; (9)$$

Operando y buscando despejar la segundo incógnita, $s$, se llega a

$$s^{2} = \frac{c}{a} - \frac{b^{2}}{4a^{2}}=\frac{4ac - b^{2}}{4a^{2}}. \;\;\;\;\;\;\;\; (10)$$

Es decir,

$$\pm s = \frac{\sqrt{4ac - b^{2}}}{2a}. \;\;\;\;\;\;\;\; (11)$$

De este modo, hemos obtenido las expresiones de las componentes $r$ e $is$ de la solución (3) en función de los coeficientes de la ecuación de segundo grado:

$$x = r + is = \frac{-b}{2a} + i\frac{\sqrt{4ac - b^{2}}}{2a}.$$

Y si en esta última expresión usamos que $i = \sqrt{-1}$, culminamos en la célebre fórmula (2).

No obstante, al principio de este proceso se impuso $s \in \mathbb{R}$ y sin embargo, la expresión (11) puede arrojar un número complejo, o más precisamente, un número imaginario puro.

Afortunadamente, nada en el desarrollo de la solución impide ese caso. Puede comprobarse casi inmediatamente que haciendo $is=t$ con $t \in \mathbb{R}$ en (4) y siguiendo los mismos pasos se llega a

$$t^{2} = \frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{c}{a} = \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}.$$

Y por tanto

$$x=r \pm t = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.$$

El hecho de que, en el caso de soluciones reales, las soluciones se puedan escribir como $r \pm t$ es lógico ya que resolver la ecuación (1) equivale a encontrar los puntos de corte de la parábola $f(x)=ax^{2}+bx+c$ con el eje $X$. Puede comprobarse que $x=r=\frac{-b}{2a}$ es el eje de simetría de la parábola por lo que, tal como ilustra la figura, en caso de existir soluciones reales, éstas se encontrarán a uno y otro lado de dicho eje de simetría a la misma distancia ($t$).