Hallazgos Matemáticos en 2023: ¿Ciencia Viva o Inmortal?

Uno de los sitios más fáciles del mundo para perder la perspectiva sobre el universo matemático es una clase de análisis. O de álgebra, o de estadística… da lo mismo. Inmersos en el día a día, nos olvidamos de levantar la cabeza del pupitre, mirar al horizonte y preguntarnos qué hay más allá de la carrera. Al fin y al cabo, de algo vivirá aquel que investiga matemáticas. Y es que efectivamente, las matemáticas, al igual que lo más profundo del océano, todavía no han sido exploradas del todo. Año tras año, los pioneros de nuestra ciencia dan un paso más hacia lo desconocido, y sería de mala educación pasar por alto algunos de estos hallazgos que han traído en 2023.

1. Teselaciones del plano

Aquellos estudiantes jóvenes que tienen dificultad en ver la belleza de las matemáticas, quizá se encuentren sorprendidos al encontrar una muy estrecha relación entre el arte y las matemáticas. Las simetrías, las diferentes perspectivas o las proporciones presentes en las más famosas obras artísticas tienen mucho de nuestra ciencia querida por detrás. Vamos a ver cómo a día de hoy sigue vivo uno de los problemas más artísticos y bonitos históricamente: el de teselar el plano.

Desde los mosaicos romanos hasta las más modernas obras de arquitectura, se ha jugado siempre con las teselas: figuras geométricas que en unión con otras idénticas, son capaces de rellenar el plano de tal manera que no se solapen. Veamos dos ejemplos sencillos: los cuadrados y los hexágonos (figuras 1 y 2).

Si nos fijamos bien en el resultado, podemos ver que estamos frente a lo que se conoce como un teselado periódico. Esto significa que existe una región del teselado que también cubre el plano entero si lo vamos repitiendo. Algo así como una “tesela madre” (figuras 3 y 4).

Además, indagando un poco más en este problema, podemos encontrar fácilmente dos figuras diferentes que, al unirse, teselen todo el plano; no tenemos por qué hacerlo con una única figura plana (figura 5).

Con esto sobre la mesa, toca introducir el concepto de teselado aperiódico. Este, como su propio nombre indica, es un teselado que no contiene zonas periódicas arbitrariamente grandes. Es decir, que no se va a conseguir encontrar una región de ese diseño (que contenga a más de una pieza) que también tesele el plano. Lo primero que parece natural preguntarse es si existe una única tesela que pueda generar un teselado apreiódico; y en ese caso cómo debería ser. Desde luego, sabemos que cualquier polígono regular va a ser insuficiente para nuestro propósito. Si no existiera una sola pieza, ¿podríamos encontrar un grupo de varias que cumplan con las condiciones pedidas? Uno de los ejemplos más famosos del teselado aperiódico es la teselación de Penrose (Figura 6). Es imposible coger una región del mismo y teselar el resto del plano con ella.

Son muchos los teselados aperiódicos que se conocen utilizando varias figuras planas. Sin embargo, no fue hasta 2010 cuando se presentó la tesela de Socolar-Taylor; una figura no conexa que rellena todo el plano de manera aperiódica, siendo esta una única pieza. Esto supuso un avance importante, pues era la primera vez que se conseguía teselar con una sola figura de manera aperiódica.
No obstante, todavía quedaba un problema por resolver… hasta este año. ¿Es posible teselar el plano de manera aperiódica con una sola figura plana conexa? Fueron David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan y Chaim Goodman-Strauss quienes publicaron un artículo en marzo de 2023 compartiendo su nuevo hallazgo: una familia de piezas que cumplían con las condiciones recién pedidas (figuras 7 y 8).

El camino hacia el hallazgo de este grupo de figuras nació desde el siguiente patrón (Figura 9).

Si se estudia atentamente el “sombrero” (parametrizado por $(1 \sqrt 3)$, se ve que la longitud de sus lados es $1$ y $\sqrt 3$. En realidad, esas longitudes pueden ser manipuladas independientemente y de manera continua, produciendo la familia mencionada de polígonos (aunque no todos ellos son aperiódicos).
Una vez se conoce la figura, parece complicado demostrar que efectivamente es aperiódica. Ese es el arduo trabajo que excede los límites que se pueden alcanzar en estas páginas.

No obstante, hay algo que todavía chirría un poco en esta pieza, y es que para teselar el plano con ella, en ocasiones necesitamos ponerla del revés, con su cara de arriba hacia abajo. No es suficiente con hacerle giros en el plano para teselarlo con ella. En la siguiente imagen, se puede comprobar que necesitamos poner del revés las teselas azules para conseguir las amarillas y poder así teselar (Figura 10).
Sin embargo, se descubrió una tesela que podía cubrir todo el plano usando una sola cara, a partir de una de las piezas que conforman la familia anterior. Se cogió aquella cuyos lados medían todos lo mismo y se curvaron cada una de sus aristas para obtener la siguiente pieza, que ahora sí, teselaba el plano de manera aperiódica y sin necesidad de poner del revés algunas de estas piezas (Figura 11).
Ahora ya sabes; la próxima vez que te aburras en clase o en el metro y comiences a dibujar figuras, a ver si eres capaz de inventarte tu propia tesela aperiódica. Quizá puedas pasar a la historia de las matemáticas como lo han hecho durante 2023 estos investigadores.

2. Los números de Ramsey

En este caso se estudia un problema de enunciado sencillo pero complicada resolución matemática.
Se plantea la situación de organizar una fiesta de seis personas. Cada par de personas se pueden conocer o no antes de empezar la fiesta. Sin embargo, sea cual sea la elección de los invitados, podemos asegurar a ciencia cierta que, o bien hay tres personas que no se conocían entre sí antes de empezar la fiesta, o bien hay tres personas que ya se conocían de antes. El problema puede visualizarse mediante su representación en forma de grafo. Dibujaremos seis vértices que representarán a los invitados, y aristas entre ellos que podrán ser rojas (si no se conocían al comienzo de la fiesta) o azules (si ya se conocían). Se expone a continuación un ejemplo de configuración posible:

En él encontramos un ciclo de color rojo (B-D-F) en representación de tres personas que no se conocían antes de entrar a la fiesta; y también uno de color azul (A-B-C) que representa a tres personas que sí se conocían. Podemos apelar al principio del palomar para demostrar que, sea cual sea la configuración de aristas, en una fiesta de seis personas siempre hay o bien tres que no se conocen, o bien tres que sí se conocen.
A raíz de este problema surgen los conocidos como números de Ramsey. ¿Cuántas personas necesitaríamos en la fiesta si quisiéramos asegurar que hay cuatro que, o bien no se conocen entre sí, o bien se conocen todas ellas? En este caso, la solución resulta ser 18, y decimos que el número de Ramsey de 4 es 18: $R(4)=18$.
De manera más formal, para cada $n \geq 3$ se busca $N$ para el cual si coloreamos las aristas de un grafo completo $K_N$ con dos colores (azul y rojo), entonces, sea cual sea la coloración, podemos asegurar que o bien hay un subgrafo Kn con todas sus aristas rojasa, o bien uno con todas azules. Al mínimo $N$ para el que esto ocurre lo denotamos $R(n)$.
En 1930, Frank Ramsey demostró que dado cualquier número natural $n$, siempre podremos encontrar un grafo lo suficientemente grande como para que resulte inevitable encontrar las estructuras antes mencionadas: grupos de $n$ vértices con todas sus aristas coloreadas del mismo color. Es decir, probó que $R(n)$ existe y es finito para cada $n$. Aquí surge una cuestión: ¿cómo de grande es $R(n)$?
A día de hoy se sabe calcular $R(1), R(2), R(3) y R(4)$, pero no más allá. Si queremos montar una fiesta en la que podamos asegurar que hay 5 personas que o bien se conocen entre sí, o bien no se conocen; necesitaremos como mínimo entre 43 y 48 invitados, pero no sabemos exactamente cuántos. Y si queremos que dicha estructura surja entre 10 personas, ¡la única aproximación que podemos hacer es que como mínimo hace falta un número de invitados que está entre 798 y 17730!

El verdadero quid de la cuestión está en encontrar una fórmula que permita estimar el número de Ramsey de un natural $k$ cualquiera. Desde que el problema se planteó allá por 1930, lo único que se había conseguido demostrar hasta el año pasado era que el número $R(k)$ era mayor que $4^{\log(k)^{2}}$ y menor que $4^{k-c(\log k)^{2}}$ para alguna constante $c>0$.

El gran avance que se ha conseguido durante 2023 ha sido reducir la cota superior para los números de Ramsey. Para ello, Marcelo Campos, Simon Griffiths, Robert Morris y Julian Sahasrabudhe se centraron primero en el problema de encontrar $R(k,l)$: el mínimo número de vértices que ha de tener un grafo para asegurarnos de que o bien hay un subgrafo completo de tamaño $k$ y con aristas de color rojo; o bien hay uno de tamaño $l$ de color azul. Encontraron una cota nueva para este problema estudiando lo que se conoce como ``libros’’ del grafo: grupos de vértices y aristas con unas propiedades concretas dadas. Después fueron capaces de trasladar esa cota al problema que habíamos planteado originalmente y demostrar con ello que, dado un número natural $k$, $R(k)<3.993^{k}$. Por pequeña que parezca esta reducción a simple vista, a medida que $k$ crece, la nueva cota se hace rápidamente mucho mejor que la anterior.

Después de leer este breve resumen, los matemáticos tenemos una excusa y una motivación para montar fiestas con un número de gente cada vez mayor, y así quitarnos esa fama que tanto nos rodea.

3. La conjetura de Kakeya

Me gusta pensar que una virtud oculta de las matemáticas es lo románticas que pueden llegar a ser. No me refiero al romance en un sentido clásico de amor, sino en el sentido de una narrativa épica. Como el romance que tiene un deporte en equipo, cuando se consigue remontar en los últimos minutos y resultar victorioso. Me explicaré mejor. Resolver un problema matemático, una conjetura, es algo que muchas veces no se lleva a cabo solo, sino en equipo. Pero los miembros del equipo no comparten el campo en el mismo momento, a veces ni se llegan a conocer, mientras juegan un partido que no se sabe cuándo acabará. No pude evitar tener esta sensación al leer sobre la conjetura de Kakeya, que el año pasado volvió a ocupar butaca en la primera fila de habladurías matemáticas.

Todo comenzó hace más de un siglo, en 1917, cuando un matemático formuló una pregunta que a primera vista parecía relativamente simple:

Este matemático (y primer jugador) era Soichi Kakeya, y siendo más exactos, la duda se formuló para regiones convexas, pero rápidamente se esgrimió de manera general. Una visualización popular y bonita del problema es la siguiente: dada una aguja infinitamente fina de longitud uno, ¿cuál es el área más pequeña que se puede trazar girándola sin levantarla, asegurándonos de que ha apuntado en todas las direcciones? Nuestro primer instinto nos dirige al círculo, comprensiblemente, si rotamos la aguja sobre su centro. Pero este instinto, aunque bueno como punto de partida, no es más que un primer tiro a puerta. Un triángulo equilátero de altura $1$ es la siguiente parada, la cual nos permite ver cómo podemos ir manejando la aguja de maneras más creativas: reposamos la aguja en un lado del triángulo tocando un vértice, la rotamos hasta que se pose sobre otro lado, ahora la deslizamos hasta el siguiente vértice, repitiendo el proceso otra vez. El tercer paso nos lleva a la deltoide, rotando la aguja sobre sí misma a la vez que la hacemos rotar sobre un círculo de radio menor (esta curva se obtiene fijando un punto en una circunferencia inscrita en una de radio $3$ veces mayor y haciéndola rotar a lo largo del borde). Con este paso, ya hemos reducido el área a la mitad desde nuestra idea original. Podríamos pensar que hasta aquí la pesquisa. Pero la caja de Pandora de los conjuntos de Kakeya (así llamamos a cualquier solución del problema) no había hecho sino abrirse.

En 1919, únicamente dos años más tarde, entraría al juego A.S. Besicovitch, cuyo resultado pareció zanjar el asunto: era posible construir conjuntos de Kakeya de área arbitrariamente pequeña, en los que la aguja se podía mover de manera continua. Esta noción de por sí sola ya merece de atención. Para llegar a este resultado, Besicovitch usó una herramienta introducida por un compañero de disciplina húngaro, Julius Pál, para mover un segmento de manera paralela con mínimo barrido de área (las uniones de Pal). Esto habilitaba una construcción de lo más imaginativa: dividir un triángulo en $n$ triángulos más pequeños, e irlos solapando en su base arbitrariamente corta a la vez que iba aumentando su altura, sabiendo que la aguja iba a poder moverse de unos a otros. Estos conjuntos anómalos de área $\varepsilon$ recibieron el nombre de conjuntos de Besicovitch.

Pero un tanto a favor no implica el final del partido. Sí es cierto que el problema de Kakeya entró al descanso durante unas décadas, pero se retomaría en 1971, con una entrada por todo lo alto. Charles Fefferman estaba estudiando las propiedades de la transformada de Fourier en espacios de Banach $\mathcal{L}^p$ de dimensión 2, en particular el comportamiento del multiplicador de Fourier de la bola unidad a la hora de integrar, dependiendo de $p$. Su resultado: el operador solo era acotado para $p=2$. El contraejemplo al resto de casos posibles: un conjunto de Besicovitch. Él mismo, desconcertado ante su descubrimiento, afirmaba: ``Y por tanto resulta sorprendente, al menos para mí, que la conjetura del disco sea falsa".

Entender la transformada de Fourier y sus propiedades en dimensión general es esencial en el mundo de las EDPs, el tratamiento de señales, la física, y más. ¿Cómo podemos pretender entender el edificio, si desconocemos algo que habita disimuladamente en sus entrañas? Los conjuntos de Kakeya irrumpieron de nuevo como objeto de estudio, y con ellos, nuevas preguntas y nuevos jugadores para responderlas. Entre ellas:

Aquellos versados en teoría de la medida (y aquellos que no, puede que también) serán capaces de imaginar que estas cuestiones conllevan un cambio drástico de enfoque, de maquinaria y posiblemente de resultados. No obstante, antes de responder a estas preguntas, debemos hacernos otra: ¿cuál es, en primer lugar, la dimensión mínima de un conjunto de Kakeya dentro de su espacio ambiente?

Resulta que los conjuntos de Kakeya son objetos más peculiares de lo que anticipábamos, y su dimensión puede no ser un número natural. O más precisamente, su dimensión de Minkowski o dimensión de Hausdorff no tienen por qué ser naturales. Estos conceptos, que no entraremos a explicar con detalle aquí, son medidas usadas en el estudio de estructuras exóticas como pueden ser los fractales, que no ocupan el espacio en el que viven, pero tampoco pueden ser descritos con un número entero de vectores linealmente independientes, y son objeto de fascinante estudio (a modo de cuña publicitaria, estos conceptos se tratan en el primer artículo del número de debut de la revista QED).

Tomando el testigo, apareció Roy Davies, que en 1970 había demostrado que un conjunto de Kakeya en el plano tenía dimensión de Hausdorff y Minkowski 2. Así, finalmente, dejamos de lado la noción de problema de Kakeya. Porque finalmente podemos referirnos como tal a la conjetura de Kakeya:

Casi 80 años después de que se plantara la semilla, Thomas Wolff asentaba el siguiente hito en 1995. Había sido capaz de demostrar que la dimensión de un conjunto de Kakeya en un espacio de dimensión 3 estaba acotada inferiormente por $5/2$. Y pocos años después, tras la muerte de Wolff en el año 2000, Tao, Katz y Laba daban el siguiente paso: su artículo ^[1], dedicado a Wolff, ampliaba esta cota en cuestión de un $\varepsilon$, aumentando la mínima dimensión admisible para un conjunto de Kakeya en 3 dimensiones a $5/2 + \varepsilon$.

Aun así, a pesar de no haberla alcanzado, la investigación de estos tres matemáticos esbozaba un sendero a recorrer hasta el cumplimiento de la conjetura en 3 dimensiones. Los objetos que habían manejado como componentes de sus conjuntos de Besicovitch eran $\delta$-tubos: $\delta$-entornos de segmentos con extremos $x_0, x_1$ en los planos $\mathbf{x} = \{ (x,y,z) : z = 0\}$ y $\mathbf{x} = \{ (x,y,z) : z = 1\}$, con orientación casi vertical. Estas son las agujas con grosor no nulo de nuestra segunda pregunta. Y querían demostrar que uniones de estos tubos que conformaran un conjunto de Kakeya debían cumplir tres condiciones:

1. Planos: para la mayoría de puntos $x$ (todos salvo un conjunto de medida 0) en el conjunto de Besicovitch, la mayoría de las líneas que pasan por $x$ pertenencen a un plano o a la unión de un número reducido de planos.

2. Granulares: derivada de la planitud, esta propiedad supone que la intersección de un cubo de arista $\rho$ con el conjunto (estudiada a escala $\delta$), se asemejará a la unión de $\delta \times \rho \times \rho$ cajas paralelas al plano mencionado anterior. Es decir, que los planos de puntos cercanos estén orientados similarmente.

3. Pegajosos: si dos segmentos apuntan en direcciones similares, entonces deben estar cercanos entre sí en el espacio.

La idea brillante era que los autores sabían que estas tres condiciones no podían coexistir. Y por tanto, si se demostraba que todo contraejemplo a la conjetura cumplía estas condiciones, la conjetura debía ser cierta. Desafortunadamente, solo consiguieron probar que todo contraejemplo debía cumplir la condición de planitud y granularidad. Y así quedó el panorama. Hasta finales de 2022.

Tao compartió sus avances en su blog en 2014, y con energías revigorizadas, Hong Wang y Joshua Zahl retomaron el trabajo donde había quedado. Pero no sin antes dar un giro inesperado al guion: llevando el problema al área de la teoría de proyecciones. El fruto de su investigación no es nada menos que admirable:

El argumento usado, viejo pero infalible, fue por contradicción. Sabiendo las dos condiciones necesarias de planitud y granularidad, asumían un conjunto de Kakeya pegajoso de partida, y operaban con las tres propiedades convivientes hasta separar en dos casos. Ambos resultaban en una contradicción, gracias a resultados de previas investigaciones en el campo de la teoría proyectiva.

¿Qué queda para que se cumpla la conjetura en tres dimensiones? Que todo contraejemplo sea necesariamente pegajoso. Y de ahí la comidilla que una vez más la conjetura Kakeya ha traído al mundo matemático en 2023. Por mi parte, estoy seguro de que este no ha sido el último renacer fenicio que podremos esperar en esta línea.

Ya fuera en búsqueda de reconocimiento, orgullo, vocación o simplemente por coincidencia, lo que al final es innegable es que han sido múltiples los nombres (más de los que aquí he podido mencionar) y mayor aún su reputación que han sido parte del equipo Kakeya. Apoyándose unos en otros, descubriendo relaciones a priori inverosímiles, aunando distintas áreas de las matemáticas… ya van más de cien años desde que se pitó el comienzo del partido. Y aún continúa, y continuará. De la mano de quién, está por ver. Puede que sean distintas caras, que vivieran en distintos mundos, pero algo tienen en común: todas han inscrito su nombre en la misma pared, buscando llegar a una cima. Tienes que admitirme que un poco romántico sí que es.

Bibliografía

• Jordana Cepelewicz. New Proof Threads the Needle on a Sticky Geometry Problem, Julio 2023. Quanta magazine.
• LASZLO FILEP AND SIGURD ELKJÆR. ERRATUM TO THE PAPER: PAL GYULA – JULIUS PAL ́ (1881-1946), THE HUNGARIAN – DANISH MATHEMATICIAN, 2001. Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyıregyh aziensis.
• Besicovitch, A. S… “The Kakeya Problem.”, The American Mathematical Monthly, vol. 70, no. 7, 1963, pp. 697–706.
• Fefferman, Charles. “The Multiplier Problem for the Ball.”, Annals of Mathematics, vol. 94, no. 2, 1971, pp. 330–36.
• Roy Davies. ”Some remarks on the Kakeya conjecture”, 1970. The university, Leicester.
• Hong Wang, Joshua Zahl. Sticky Kakeya sets and the sticky Kakeya conjecture, 2022, arXiV.

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1. Katz, Nets Hawk, et al. “An Improved Bound on the Minkowski Dimension of Besicovitch Sets in R3.” ,Annals of Mathematics, vol. 152, no. 2, 2000, pp. 383–446 ↩︎

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