Entrevista a Mara Manzano

Yo hice Bachillerato de Ciencias y no tenía nada claro qué carrera quería estudiar. Por una parte, me gustaban las matemáticas, la física y la biología; por otra, la literatura, y también me interesaba la psicología.

Mi primera opción era Medicina, la segunda Filosofía y Letras y la tercera habría sido Ciencias. Empecé la carrera de Medicina en Sevilla en el curso 1967-1968, pero me pasé a Filosofía ese mismo año; me di cuenta de que la medicina no era lo mío y me cambié enseguida a la que era mi segunda opción.

Estudié Filosofía en la Universidad de Barcelona a partir del curso 1968-1969 y, gracias al denominado Plan Maluquer, pude diseñar mi propio plan de estudios centrado en asignaturas de Lógica, Matemáticas y Lingüística. La elección de asignaturas tenía que ser admitida por un tutor al que me costaba convencer de que mi opción tenía mucho sentido; pasaría mucho tiempo hasta que los estudios de Logic, Language and Information se consideraran razonables.

De entre mis profesores destacaría a Jesús Mosterín, Emilio Lledó y Sebastián Serrano. El profesor Mosterín me descubrió la Lógica en los primeros años de la carrera y desde entonces esta ha sido mi pasión.

Obtuve la licenciatura en Filosofía y Letras en 1974, comenzando entonces mi carrera docente e investigadora en la misma universidad. Recibí una beca de la Fundación Juan March (1975-1976) mientras escribía mi tesis doctoral, Sistemas generales de la lógica de segundo orden (1977), bajo la dirección de Jesús Mosterín.

Completé mi formación en el extranjero: Estados Unidos, Reino Unido y Francia. La estancia que me marcó definitivamente fue la de Berkeley, que realicé en el curso 1977-1978 con una beca Fulbright-Hays. Estuve en el mejor lugar posible, en The Group in Logic and the Methodology of Science, que había sido fundado en 1957 por Alfred Tarski y Leon Henkin. Yo acababa de defender mi tesis y tenía un gran interés en completar mi formación en lógica allí, bajo la tutela de Henkin. Durante mi estancia en Berkeley asistí a sus cursos ―era un profesor maravilloso― y a los de Adisson y Craig. A Leon Henkin le gustaba decir que era mi mentor, y ciertamente su amistad y magisterio marcaron mi carrera docente e investigadora.

Toda mi vida he estado en contacto con lógicos de distintos ámbitos: filosofía, matemáticas e informática. He impartido cursos de lógica en Filosofía e Informática durante muchos años, tanto a nivel de grado como de máster y doctorado. Además de los cursos de Lógica Matemática (lógica proposicional, de primer orden y teoría de conjuntos), he enseñado Teoría de Modelos, Lógicas de Orden Superior, Metalógica, Lógicas no clásicas (modal y dinámica) y Lógicas para la red semántica (lógica descriptiva).

Pienso que la división temprana entre Ciencias y Letras es un terrible error porque crea analfabetos en ambas ramas. Yo creo que la lógica es fundamental en todos los niveles de la enseñanza, muy especialmente en bachillerato.

Este año la Division on Logic, Methodology and Philosophy of Science and Technology ha creado una Commission on Logic Education a cuyo grupo promotor, formado por media docena de lógicos, pertenezco. De momento se está creando una red internacional que abarque a todos los interesados en la enseñanza de la lógica para intercambiar experiencias y proyectos. A mí me gustaría trabajar y propiciar varias iniciativas:

• Lógica para niños. Se les puede enseñar códigos secretos, diagramas de Venn y cálculo de árboles lógicos para resolver problemas de detectives y de la vida diaria. Se puede entender como una introducción a la lógica y a la criptografía.

• Lógica para alumnos de bachillerato. Podrían aprender lógica proposicional y de primer orden, tanto un cálculo deductivo sencillo (el de árboles es el más fácil) como la semántica. Les resultaría útil tanto en Matemáticas como en Humanidades, ya que les serviría para mejorar el razonamiento crítico y detectar errores en la argumentación. Entre otras cosas deberían aprender conceptos clave como condición necesaria y suficiente, validez, consistencia, contradicción, consecuencia, axioma, teorema, etc.

• Lógica para estudiantes universitarios, al menos de las carreras de Filosofía, Informática, Lingüística y Matemáticas. Considero relevante debatir qué lógica se debe enseñar en las distintas carreras y en qué cursos y cómo enseñarla (cómo demostrar teoremas importantes como los de completud, interpolación, etc.). También sería interesante debatir en qué momento introducir sistemas lógicos distintos al de la lógica clásica de primer orden tales como la lógica multivariada, la de segundo orden, la teoría de tipos, la lógica modal, la dinámica, la descriptiva, etc.

• Software para la enseñanza de la lógica. Aprender, y en su caso desarrollar, software específico, demostradores de teoremas, etc.

Por lo que se refiere a la enseñanza en bachillerato, Ram Ramanujan presentó un artículo muy interesante titulado Big Ideas from Logic for Mathematics and Computing Education. Allí se mencionan muchas dificultades debidas a ambigüedades del lenguaje matemático empleado en cursos previos a la universidad y que podrían no producirse si se les proporcionara una base lógica adecuada. Algunos malentendidos están asociados al uso de variables en expresiones en donde no aparecen cuantificadores, pero se sobreentiende que las variables se refieren a todos los valores posibles y que por lo tanto deberían estar cuantificadas; o cuando se trata simplemente de una ecuación que debe ser resuelta, o de la función misma, no de un valor para un cierto argumento.

Cuando escucho la pregunta “¿Tienen algo en común disciplinas aparentemente tan dispares como las matemáticas, la filosofía, la informática, la inteligencia artificial, la argumentación y la lingüística?”, yo respondo afirmativamente diciendo que la lógica es lo que comparten.

Como todos sabemos, el estudio de la lógica se remonta a los filósofos griegos, quienes la concebían como el campo en el que se desarrollan los patrones o estrategias que pueden aplicarse en el curso de una buena (y honesta) argumentación competitiva. En la lógica, desde sus inicios, se estudió y precisó el concepto de inferencia válida o correcta; los denominados silogismos de Aristóteles son un ejemplo. Pero la lógica está también presente desde sus inicios en la fundamentación de la matemática; en los Elementos de Euclides se fijan como axiomas las características relevantes de la geometría clásica, así como ciertas reglas para obtener teoremas.

La lógica y la computación también llevan mucho tiempo unidas, desde que Leibniz propusiera mediar en las disputas filosóficas con su Calculemus: las partes en disputa codificarían sus opiniones en números y la veracidad o falsedad la verificarían aritméticamente.

Podríamos pensar que antes del nacimiento de la denominada lógica matemática podría concebirse a la lógica como un gran árbol del que penden como ramas las disciplinas mencionadas; en este sentido todas ellas serían parte de la lógica. Estoy pensado que del árbol de la lógica penden tanto las ciencias como las letras; posiblemente mis compañeros filósofos no compartan esta idea.

El siglo XX comenzó con la construcción matemática de la lógica moderna, que condujo a poderosos sistemas formales de razonamiento. A los lógicos no sólo les interesaba crear lenguajes y cálculos formales, también querían indagar su alcance y sus límites; en particular, Alan Turing y Kurt Gödel obtuvieron algunos de los resultados más famosos en temas de limitación. Ambos fueron seleccionados por la prestigiosa revista Time entre los veinte intelectuales más influyentes del siglo XX. Existe un amplio acuerdo en considerar a Turing como el padre de la informática y la inteligencia artificial.

Para centrarnos mejor en la relación entre la lógica y las matemáticas, debemos avanzar en el tiempo. La construcción de la lógica matemática (algunos prefieren llamarla lógica moderna) comienza a finales del siglo XIX y principios del XX, especialmente con las contribuciones de Frege y Russell. En particular, la denominada teoría de tipos de Russell ofrece una fundamentación segura y en concordancia con la imagen del universo de conjuntos de la jerarquía de conjuntos: no sólo proporciona un lenguaje formal adecuado, con variables distintas para los distintos niveles, sino que evita las paradojas autorreflexivas que afectaban al sistema de Frege y a la teoría intuitiva o ingenua de conjuntos. Me estoy refiriendo a la conocida “paradoja del mentiroso”, cuando el que habla afirma que lo que está diciendo es falso, o cuando se define un conjunto mediante la torticera propiedad de no pertenecerse a sí mismo.

Russell sostiene que las matemáticas no son más que lógica y que la lógica se ocupa de las tautologías, tratándose estas de expresiones carentes de contenido. Henkin (en su artículo de divulgación titulado Are Logic and Mathematics Identical?) resume de manera divertida la mala recepción de las tesis de Russell en la comunidad matemática: Aux armes, citoyens du monde mathématique!

Como anécdota curiosa os contaré que Henkin envió este artículo a Russell y él le contestó que hacía más de cincuenta años que no se dedicaba a nada relacionado con la lógica, que lo último de lo que había tenido noticia era del teorema de Gödel y que lo había dejado completamente desconcertado. Russell le preguntó a Henkin: Does this apply to school-boys’ arithmetic, and, if so, can we believe anything that we are taught in youth? Are we to think that 2+2 is not 4, but 4.001? Obviamente, Russell no estaba distinguiendo entre inconsistencia e incompletud. Ginette, la esposa de Henkin, me fotocopió la carta de Russell cuando la visité y le conté que estábamos preparando el libro de homenaje a Henkin, The Life and Work of Leon Henkin.

Henkin finaliza su artículo diciendo que él considera que la lógica es una rama de las matemáticas. Recibió el premio Chauvenet Prize de divulgación de las matemáticas por este artículo.

Podemos pensar que el paso entre la lógica proposicional y la de primer orden viene impuesto porque con la primera no podemos captar muchos de los razonamientos habituales; se trata de un lenguaje demasiado simple en el que las proposiciones no se analizan ni se cuantifican, sólo se combinan entre sí mediante conectivas. Esta lógica, pese a ser poco expresiva, es muy potente computacionalmente; el conjunto de sus fórmulas válidas es decidible.

En la lógica de primer orden cuantificamos sobre los individuos del universo de la estructura que estemos considerando en cada caso y esto hace a esta lógica más expresiva, pero por ello pagamos el precio de la decidibilidad. En esta lógica, la capacidad expresiva y computacional está más equilibrada, pues posee cálculos deductivos correctos y completos; el conjunto de las fórmulas válidas es recursivamente enumerable. Pese a ser más expresiva que la proposicional, algo tan básico como la aritmética no puede axiomatizarse adecuadamente, ni tan siquiera usando un número infinito de axiomas, y aparecen modelos no estándar, no isomorfos a los naturales que aprendimos en el colegio. ¿Podemos usar un lenguaje más potente en el que axiomatizar categóricamente a los naturales, esto es, de manera que dos modelos cualesquiera de nuestros axiomas sean isomorfos?

En la lógica de segundo orden podemos cuantificar sobre los subconjuntos del universo de la estructura. En la teoría de tipos cuantificamos sobre individuos, funciones de individuos y funciones de funciones, y así indefinidamente. Nos basta la de segundo orden para axiomatizar categóricamente la aritmética pues el principio de inducción es un simple axioma. Gracias a esa propiedad, el conjunto infinito de las sentencias verdaderas en la estructura de los números naturales coincide con el de las consecuencias semánticas de los tres axiomas de Peano.

Sin embargo, Gödel definió una fórmula que dice de sí misma que no es demostrable en la aritmética de Peano; se parece a la paradoja del mentiroso, pero no cae en el círculo vicioso en el que caía aquella fórmula que decía de sí misma que no era verdad. La manera de evitar la paradoja autorreflexiva es codificando las fórmulas en números de tal manera que una fórmula, al hablar de un número, está hablando de la propia fórmula. La fórmula de Gödel es verdadera en la estructura de los números naturales, pero no es demostrable. A partir de ese resultado se puede demostrar que la propia lógica de segundo orden es incompleta, es decir, que hay una fórmula válida e indemostrable. Hemos creado un lenguaje más expresivo que el de primer orden, pero hemos arruinado su capacidad computacional. No todos los cálculos son completos; el conjunto de sus teoremas lógicos deja fuera fórmulas que deberían estar pues son lógicamente válidas.

En lógica, como en la vida misma, todo tiene un precio. ¿Qué precio hemos de pagar por recuperar la completud? El precio es la expresividad

Una lógica es como una balanza: en un platillo pones la capacidad computacional y en el otro la expresiva; son óptimos imposibles.

El gran impulsor de las investigaciones en esta área, quien además lo bautizó, fue Tarski, que habiendo precisado y definido los conceptos semánticos de verdad y consecuencia, posibilitó esta modernización y generalización de la semántica que es la teoría de modelos.

La Teoría de Modelos es la rama de la lógica que se ocupa de las relaciones entre los lenguajes formales y sus interpretaciones en estructuras o modelos adecuados. En el libro de Chang-Keisler la definen así:

_Álgebra Universal + Lógica = Teoría de Modelos_

Para relacionar a las estructuras hay dos formas de hacerlo: de manera puramente algebraica, definiendo conceptos tales como subestructura, homomorfismo, inmersión e isomorfismo, o a través del lenguaje de primer orden, definiendo equivalencia elemental, subestructura elemental e inmersión elemental.

Por supuesto, la teoría de modelos proporciona herramientas para analizar tanto a las estructuras comunes en matemáticas como a las teorías formadas por las sentencias en ellas verdaderas; también a las teorías axiomáticas que en distintas ramas de la matemática se manejan.

Volviendo al tema de la relación bidireccional entre teoría de conjuntos y lógica, podemos decir que la teoría de conjuntos nos proporciona las estructuras que sirven para interpretar nuestras fórmulas, y es el campo de acción del metalenguaje y de los metateoremas (completud, por ejemplo) que demostramos acerca del cálculo. Pero a la teoría de conjuntos la podemos formalizar en primer orden (por ejemplo, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel) y entonces se convierte en una teoría en el sentido usado en teoría de modelos.

Hay que distinguir claramente estos dos niveles: background set theory y object set theory. Muchas paradojas aparecen al no distinguirlos claramente, como por ejemplo, la denominada paradoja de Skolem. La paradoja no llega a ser contradicción porque el universo matemático y los modelos de Zermelo-Fraenkel difieren significativamente.

En matemáticas la verdad de un enunciado en una determinada estructura no cambia ni por el paso del tiempo ni por la ejecución de ciertas acciones. Sin embargo, cuando queremos analizar otros contextos, necesitamos lenguajes formales en donde se pueda calificar a los enunciados con etiquetas tales como “necesario” o “posible”, “siempre” o “alguna vez”, “conforme a las reglas de cierta disciplina”; enunciados cuyo valor cambia como resultado de la adquisición de una nueva información, o tras ejecutar una determinada acción o un programa.

¿Hay lógicas en las que se pueda expresar que el valor de verdad cambia en concordancia con el contexto, por efecto del paso del tiempo, como resultado de ciertas acciones, o tras la ejecución de un programa informático? ¿Qué pasa cuando estamos interesados en una lógica más expresiva que la de primer orden, cuando pasamos a la de segundo orden o a la teoría de tipos?

La respuesta es afirmativa y a las lógicas modales, híbridas, temporales o dinámicas he dedicado parte de mi investigación. En estas lógicas en vez de hablar de “verdad en una estructura” hablamos de “verdad en un mundo de una estructura”. Los mundos pueden ser momentos de tiempo, estados de una máquina, etc.

El último artículo que he publicado, junto a otros investigadores en el Journal of Symbolic Logic, introduce una lógica extraordinariamente compleja pero muy versátil. Cuando ninguna de las lógicas existentes te sirve para expresar adecuadamente lo que necesitas, creas tú una nueva lógica y, a ser posible, le defines un cálculo y demuestras que es correcto y completo.

En el año 1991 publiqué el artículo de divulgación La Bella y la Bestia. Justamente se trataba de esclarecer la relación entre lógica e informática. Curiosamente, empezaba mi artículo con las palabras del cuento que le dio título.

El propósito de este artículo es poner de relieve los profundos lazos existentes entre ambas disciplinas. En la Introducción destaco los distintos niveles en los que podemos situarnos para describir el funcionamiento de un programa, haciendo especial hincapié en el hecho de que en cada uno de ellos utilizamos un lenguaje formal. Desde el nivel inferior, pisando tierra, en donde se sitúa el computador con su unidad central, su memoria y registros, hasta el nivel metateórico en donde los programas son los objetos de estudio, la lógica formal constituye la fuente inagotable de recursos teóricos.

En la segunda parte del artículo muestro cómo desde los inicios de la Informática la Lógica ha sido fuente de inspiración y de influencia técnica: varios lógicos notables son responsables, directa o indirectamente, de las máquinas de registros (Turing), de la caracterización del poder de los algoritmos y de la computación digital y de la demostración de su equivalencia (Church, Kleene, Turing), de la distinción entre sintaxis y semántica en los lenguajes de programación (Frege, Tarski), y de ciertos lenguajes de programación como el PROLOG y el LISP.

También es de destacar la influencia que los sistemas formales, llamados gramáticas (Chomsky), diseñados para analizar la sintaxis de los lenguajes naturales, tuvieron en el diseño de los compiladores.

Como contrapartida, la informática ofrece una tierra nueva, rica en problemas filosóficos que pueden ser investigados con la poderosa maquinaria de la lógica formal. Es en la Lógica de Programas en donde se lleva a cabo esta empresa fascinante, en donde el maridaje entre lógica e informática es mejor entendido y cultivado.

El primer libro del que os quiero hablar es Lógica para principiantes. La primera edición es del 2004 y se ha reimpreso muchas veces, la última en 2022. Las autoras somos María Manzano y Antonia Huertas. Antonia es licenciada en Matemáticas y Humanidades y yo fui su directora de tesis.

Este libro está pensado para los estudiantes de Lógica de las facultades de Filosofía e Informática y, en general, para quienes se acercan a la lógica por vez primera. El texto, que se apoya en numerosos ejemplos y ejercicios, es accesible, interdisciplinar y moderno en su concepción, poniendo especial énfasis en la semántica. Aporta técnicas sencillas de prueba: diagramas de Venn, cálculos de resolución y de deducción natural, tanto para la lógica proposicional como para la de primer orden.

Tengo otro libro del que no os hablaré pues ya dije algo en el apartado correspondiente, que es el de Teoría de Modelos.

El libro que me gustaría mencionar es Extensions of First Order Logic. Este es el libro del que me siento más orgullosa de haber escrito pues no sólo presenta, con mucho detalle, varias extensiones de la lógica de primer orden, propiciando una perspectiva pluralista acerca de la lógica, sino que también proporciona una visión unificadora.

Las lógicas que se presentan son: lógica de segundo orden, teoría de tipos, lógica modal (proposicional y de primer orden), lógica dinámica de programas y lógica multivariada. El segundo y más importante objetivo del libro es mantener y demostrar en los casos de los sistemas lógicos presentados en el libro, la tesis de que muchos de los sistemas lógicos pueden ser traducidos a la lógica multivariada y que, por tanto, ésta ofrece un marco unificador en el que situar a otras lógicas. La proliferación de sistemas lógicos hoy en día presentes en filosofía, matemáticas, lingüística e informática hace necesario establecer vínculos entre ellos y, a ser posible, un planteamiento unificador. El objetivo no es anular al resto de sistemas lógicos, sino simplificar tanto la demostración de teoremas de los distintos sistemas, propiciando el uso de un único demostrador de teoremas, como el evitar muchas de las demostraciones metalógicas de los sistemas estudiados al poder trasladar resultados de la lógica marco a los distintos sistemas en estudio.

La lógica de segundo orden se presenta de manera detallada, tanto la que sólo admite modelos estándar como la que admite los modelos generales de Henkin. Presento también un cálculo deductivo; posteriormente traduzco la lógica de segundo orden a la multivariada y su demostración de completud se deriva de la completud de la multivariada.

La teoría de tipos se presenta en varias versiones. Destacaría el uso del abstractor lambda que me permite distinguir entre la función y el valor de una función para un cierto argumento, todo ello en el marco de una jerarquía infinita de niveles. De la lógica multivariada se define no sólo su lenguaje y semántica, sino también un cálculo del que se demuestra completud y corrección.

El capítulo más importante es el séptimo, en el que se presenta el tratamiento unificador que la lógica multivariada proporciona.

Finalmente se aplica dicho tratamiento a las lógicas del libro, la de segundo orden, la de tipos, las modales y la dinámica.

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