Segunda Mujer Medallista Fields

Recientemente se han otorgado las medallas Fields de este año a cuatro matemáticos de renombre: James Maynard, June Huh, Hugo Duminil-Copin y Maryna Viazovska. En esta breve nota nos centraremos en esta última.

Viazovska completó los estudios de grado en la Universidad Nacional de Kiev Taras Shevchenko, el máster en la Universidad Técnica Kaiserslautern y el doctorado en Bonn.

Fotografía de Maryna Viazovska.

Tras completar su doctorado, trabajó en numerosos lugares de prestigio. Actualmente, desarrolla su carrera en el EPFL de Lausanne, Suiza. Con este premio, Viazovska se ha convertido en la segunda mujer (después de Maryam Mirzakhani) y en la segunda persona nacida en territorio ucraniano (después de Vladimir Gershonovich Drinfeld) en obtener la medalla Fields, la más alta distinción en Matemáticas.

El trabajo más destacado de esta matemática, como reconoce la web oficial del International Mathematical Union (IMU), organización que entrega estos galardones consiste en la demostración de que el retículo $E_{8}$ produce el empaquetamiento más denso de esferas idénticas en 8 dimensiones. Este retículo recibe este nombre debido a que es el retículo de raíces del sistema de raíces $E_{8}$. En este punto probablemente os surgan varias dudas: ¿Qué significa ser el empaquetamiento más denso de esferas idénticas? ¿Tiene algo de especial lo de las 8 dimensiones? ¿Y qué es exactamente el retículo $E_{8}$?

El problema del empaquetamiento más denso de esferas idénticas consiste, a grandes rasgos, en colocar esferas (n-dimensionales) en una superficie (n-dimensional), mucho más grande que el tamaño individual de cada esfera, de forma que las esferas cubran la mayor porción de superficie posible (es decir, sean lo más densas posible en esa superficie) sin solaparse (solo pueden tocarse tangencialmente).

Así, tenemos algunos casos básicos conocidos desde hace tiempo:

• En dimensión n = 1, la unión de intervalos es lo ideal, llenando la recta con densidad 1.
• En dos dimensiones, la distribución ideal tiene forma hexagonal, con densidad $\frac{\pi}{\sqrt{12}}$.
• En tres dimensiones, nuestro espacio usual, la distribución de máxima densidad es la típica de los fruteros: en forma piramidal(aunque si no hubiera el problema de la gravedad sería más bien un cubo), con densidad $\frac{\pi}{\sqrt{18}}$.

Sin embargo, en dimensiones superiores es difícil encontrar y demostrar la distribución óptima, además de que nada garantiza que esta distribución sea regular como en los casos anteriores. El gran logro de Viazovska fue demostrar que el famoso $E_{8}$ es este empaquetamiento ideal para el caso 8-dimensional (esta fue la primera prueba para dimensión superior a 3), con densidad $\frac{\pi^{4}}{384}$. No solo esto: ella, junto a Cohn, Kumar, Miller y Radchenko; también demostraron que el óptimo en dimensión 24 es el retículo de Leech, con densidad $\frac{\pi^{12}}{12!}$. En esta ocasión, nos centraremos en el $E_{8}$.

Ya hemos visto que el retículo $E_{8}$ es una distribución de esferas iguales en el espacio de dimensión 8. Pero, ¿cómo es esta distribución? ¿Qué propiedades tiene? Si bien es difícil hacerse una idea de una distribución en 8 dimensiones, sí podemos aportar un poco de luz a esta estructura desconocida. El retículo $E_{8}$ se define así:

Es decir, está formado por coordenadas con parte decimal 0 o 5 (por ejemplo, el punto (0, 4, −3, 7, −2, 5, 10, 12)), donde se cumple que la suma de dichas coordenadas es un número par. El empaquetamiento asociado a este retículo consiste en bolas (esferas 8-dimensionales) de radio 1 y centro en algún punto de la forma $\frac{1}{\sqrt{2}} E_{8}$. Es decir, algún punto del retículo al que se le ha multiplicado por $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (esta multiplicación es un formalismo, ya que la distancia mínima entre dos puntos de este retículo es $\sqrt{2}$. Por lo tanto, con dicha multiplicación se consigue que esta distancia mínima pase a ser 1, como el radio de estas bolas). $E_{8}$ además tiene ciertas propiedades de unicidad que exceden el propósito de esta nota.

Por todo lo anteriormente explicado, Maryna Viazovska es una merecida ganadora de la medalla Fields. Seguiremos con interés los logros que sea capaz de obtener en un futuro.