Los Números F

Introducción

Lo primero siempre es establecer un punto de partida, y en este caso será revisar los tipos de cámara que existen según su sistema de visión (compactas, cámaras de visor y réflex de un objetivo); y especificar en cuál de estos tres nos centraremos (en el último).

Este trabajo tendrá como objetivo principal estudiar los llamados números f, presentes en la escala del diafragma de una cámara, en particular acentuando su relación con la matemática. Para ello, propondremos el siguiente recorrido:

En una primera instancia, introduciremos la distancia focal de una cámara, y daremos una idea de cómo funcionan el “zoom” y el ángulo de visión de la misma.
Continuaremos definiendo y explicando la utilidad del diafragma en relación con la iluminación resultante de las fotos.
Próximamente pasaremos a enfocarnos en un análisis de dichos números f, desvelando el porqué de ellos y no otros; algo que muy probablemente resulte desconocido incluso a fotógrafos profesionales, que manejan estos dispositivos a diario.
Posteriormente y como último aparte, explicaremos su empleo en el cálculo de relación de luces y pasos, deduciendo unas cuantas fórmulas pertinentes.

Figura 1. Radiografía de una cámara de fotos

Distancia focal

En nuestra primera parada, trataremos un concepto fundamental en el funcionamiento de una cámara: la distancia focal de un objetivo.

La distancia o longitud focal se define como la distancia entre el centro óptico del objetivo, y el sensor o plano focal sobre el cual se proyecta la imagen, y viene medida en milímetros. La figura 1 esclarece gráficamente el concepto.

En fotografía, cuanto mayor sea la distancia focal, mayor “zoom” tendrá el objetivo, y menor parte de la escena captará. En otras palabras, cuanto menor sea la distancia focal de nuestro objetivo mayor será la profundidad de campo. A modo de ejemplo, se muestran algunas imágenes con distintas distancias focales (Figura 2).

Figura 2. De arriba abajo, fotografías tomadas con distancia focal de 18mm, 35mm y 45mm, respectivamente.

Como otros muchos conceptos en el mundo de la manufacturación, la longitud focal de un objetivo está estandarizada, y utiliza como referencia el tamaño del sensor de una cámara Full Frame (35mm). Esto es importante ya que acorde al tamaño del sensor de tu cámara, variará la distancia focal efectiva del objetivo.

Además, a la hora de evaluar un objetivo hay que prestar atención al ángulo de visión que tiene. Este mide la “porción de la escena” que el objetivo puede capturar en grados. Cuanto más angular es el objetivo, mayor porción de la escena te permitirá capturar en una misma fotografía (mayor ángulo), y cuanto más “zoom” tenga, menor será la porción de la imagen original que se podrá capturar en la foto (ángulo menor).

El diafragma de la cámara

De este punto en adelante, nuestro análisis se basará en el estudio del diafragma, pero para ello antes debemos entender lo que es el objetivo de una cámara fotográfica. El objetivo es la parte de la cámara que dirige los rayos de luz hacia el sensor, situado en la parte posterior del cuerpo de esta. Consta de una o varias lentes convexas que proyectan los rayos de luz que las atraviesan y colapsan en un único punto: el foco.

Por su parte, el diafragma es un dispositivo en el interior del susodicho. Este consta de unas láminas que se abren y se cierran, dejando un orificio central que permite pasar más o menos luz hacia el sensor de nuestra cámara. Debido a su funcionamiento análogo, se podría decir que el diafragma "es el iris de nuestra cámara”. Cuando está abierto del todo deja pasar toda la luz posible (como uno pensaría en hacer, por ejemplo, en un día nublado), pero al cerrarse, reduce significantemente la cantidad de luz que pasa. Es al pulsar el disparador para hacer una foto que las láminas se cierran formando el “agujero” por el que pasa la luz. La velocidad con la que se cierra este disparador es lo que conocemos como velocidad de obturación, y esta es crucial para la sensibilidad de una foto. Sin embargo, en este proyecto no será sino una actriz secundaria.

Este cierre de las láminas del diafragma es uno de los conceptos clave de la fotografía: la apertura de diafragma. Conociendo y controlando la apertura de diafragma uno es capaz de manejar aspectos tan fundamentales para la toma como la exposición o la profundidad de campo.

El tamaño de apertura del diafragma se puede ajustar en medidas discretas. Aquel tamaño, que hace referencia al diámetro del orificio que dejan las láminas, aparece representado por un valor llamado número f (o relación focal), que de ahora en adelante será nuestro protagonista. Cuanto menor sea el número f, mayor será ese orificio y la apertura del diafragma y, por tanto, más luz entrará en nuestra cámara. Y viceversa, cuanto mayor sea el número f, habrá menos luz entrando hacia nuestra cámara. Pero ¿de dónde surge esta proporcionalidad inversa?

Resulta que este diámetro de la pupila de entrada D aparece al dividir la distancia focal f por distintas cantidades reales. He aquí la respuesta:

D = \frac{f}{N}

En las cámaras de fotos con modo manual podemos establecer el parámetro f/. Usando esta notación vemos valores como f/2.8 o f/4, que se leería “efe cuatro”.

La siguiente pregunta que podríamos formularnos sería, ¿por qué se usa ese cociente y no se utiliza directamente la cantidad de milímetros que tiene el diámetro del orificio? La respuesta tiene que ver con proporciones: como existen diferentes formatos de fotografía y diferentes lentes, el tamaño verdadero de los orificios cambia, pero la cantidad relativa de luz que dejan pasar no.

Pero lo que realmente nos interesa e involucra la matemática va más allá, y es que no solo estos números f vengan dados como proporciones, sino que en todas las cámaras de fotos encontramos la misma sucesión de números f.

¿Por qué esos números y no otros? ¿Por qué cambian de esa manera? El origen oculto de esta sucesión de números es la siguiente:

El orificio que va cambiando de tamaño, dejando entrar más o menos luz en la cámara, tiene forma que puede aproximarse a la de un círculo (a mayor número de láminas, mejor la aproximación). Como el área de un círculo es $A_{1} = \pi r^{2}$ (donde $r$ es su radio), si tuviéramos otro círculo de radio $R$ con el doble del área del anterior mencionado se cumpliría $A_{2} = \pi R^{2}$ y $2A_{1} = A_{2}$ . Igualando y despejando, obtenemos $R = \sqrt{2} r$ .

Así, los números f cumplen que cada uno es el anterior multiplicado por la raíz de dos. Esto nos brinda la siguiente tabla de valores:

Raíces	Aproximación numérica
$\sqrt{2}$	$1.41$
$\sqrt{2}^{2}$	$2$
$\sqrt{2}^{3}$	$2.82$
$\sqrt{2}^{4}$	$4$
$\sqrt{2}^{5}$	$5.64$
$\sqrt{2}^{6}$	$8$
$\sqrt{2}^{7}$	$11.28$
$\sqrt{2}^{8}$	$16$
$\sqrt{2}^{9}$	$22.63$
$\dots$	$\dots$

Debido a la irracionalidad de raíz de dos, algunos términos de la sucesión de números f deberán ser aproximaciones de los valores reales.

Figura 3. Aperturas del diafragma. Mientras más pequeño es ese número, más grande resulta la apertura.

Formalmente, esta sucesión geométrica de razón $\sqrt{2}$ , llamada escala estándar de números f, es la siguiente:

\textbf{F}: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R} \\ n \longrightarrow \sqrt{2}^{n} := f_{n}.

Sabiendo esto, podemos describir cuál será la relación entre dos números f y las exposiciones correspondientes.

Sean $f_{i}$ y $f_{i+j}$ dos aperturas de diafragma distintas (no necesariamente consecutivas). Entonces $f_{i+j} = f_{i} \sqrt{2}^{j} \implies \frac{f_{i+j}}{f_{i}} = \sqrt{2}^{j} \implies (\frac{f_{i+j}}{f_{i}})^{2} = 2^{j}$ .

A la constante $2^{j}$ se la llama relación de luces. Es la relación medible entre la luz que incide sobre las partes del sujeto iluminadas por la luz principal, y las sombras, iluminadas únicamente por la luz de relleno. La luz principal es la fuente de luz más importante en la toma. A ella se subordinan todas las demás fuentes. Es la responsable de la claridad básica y de la modulación del objeto. En cambio, la luz de relleno es una luz secundaria dentro del esquema de iluminación del estudio y sirve para aclarar sombras y reducir el contraste.

Por su parte, los números f también influyen en el cálculo de pasos. En fotografía, un paso es una diferencia en la exposición de doble o mitad. Si nos referimos a un paso de diafragma será la diferencia de abrir o cerrar el diafragma de modo que entre el doble o la mitad de luz. Tendremos:

\frac{f_{i+j}}{f_{i}} = \sqrt{2}^{j} = 2^{\frac{j}{2}} \Longleftrightarrow \log_{2}{\frac{f_{i+j}}{f_{i}}} = \frac{j}{2} \Longleftrightarrow 2\log_{2}{\frac{f_{i+j}}{f_{i}}} = j.

Sin embargo, también existen otras escalas de números f. Estas se construyen de manera similar, pero cambia la razón de la progresión geométrica que origina los números. Con una razón igual a raíz cuarta de dos, la escala se llama de medio paso; mientras que, si la razón es igual a raíz sexta de dos, esta escala se conoce como la de 1/3 de paso. Como es de suponer, estas escalas con más pasos ayudan a manejar la exposición con una mejor precisión. Usualmente, éstas pueden activarse o desactivarse a través del menú.

Reflexión

A lo largo del presente artículo logramos notar la relación de los números f que se encuentran en el diafragma de una cámara fotográfica con la matemática. Explicamos a qué se le llama apertura del diafragma, mostrando que se define como un cociente y a partir de ahí pudimos deducir que cuando hay un mayor valor de apertura, el número decrece. Así mismo, deducimos mediante la fórmula de área de un círculo que la escala de números f sigue la sucesión geométrica de razón $\sqrt{2}$ . Utilizando esto último razonamos las fórmulas de relación de luces y pasos.

A modo de broche final, podemos decir que, como en muchísimas áreas más, la matemática también se aplica en la fotografía, en particular con los números f. Sin embargo, esta particularidad puede fácilmente convertirse en una generalidad en cuanto queramos ser capaces de hablar en detalle de óptica fotográfica o sensibilidad ISO. Aunque saber qué matemáticas hay detrás de una cámara quizá no nos haga tomar mejores fotos, sí puede que nos haga admirar algo más el hecho de que plasmar el mundo en papel no es obra de magia, sino fruto de la ciencia.