Paradoja Carroliana

“En una carrera, el corredor más rápido nunca puede superar al más lento, ya que el perseguidor debe primero llegar al punto donde comenzó el perseguido, de modo que el más lento siempre debe tener una ventaja.” (según lo contado por Aristóteles, Física VI:9, 239b15)

De este modo se plantea la famosa paradoja de Aquiles y la Tortuga, una de las varias atribuidas al filósofo de la Antigua Grecia Zenón de Elea (c.490- 430 a.C.). Este pensador clásico “inmensamente sutil y profundo”, en palabras del matemático Bertrand Russell, fue discípulo directo del filósofo presocrático Parménides de Elea, en defensa de cuya doctrina elaboró sus aporías.

Como sucede con todos los autores clásicos, la principal dificultad para conocer el legado de Parménides es el tiempo transcurrido. De su única obra, un poema filosófico en verso épico, conservamos tan solo algunos fragmentos provenientes de citas de otros autores. Y aún deberíamos sentirnos agradecidos, pues la integridad de lo que conservamos es notablemente mayor que lo que nos ha llegado de las obras de otros filósofos presocráticos, pudiendo así reconstruir su doctrina con mayor precisión. En el ámbito de la metafísica o, como él la denomina, “la vía de la verdad”, se ocupó de lo que es o ente, una especie de todo. El poema de Parménides comienza con un proemio en el que se describe el viaje que hace “el hombre que sabe” por un camino alejado del camino usual de los mortales y que desemboca en una entrevista con una diosa. El discurso de esta deidad anónima conforma el resto del poema y recoge las reflexiones del autor. En la revelación divina encontramos una lista de atributos del ente entre los que destaca para nosotros su propiedad de ser inmóvil. Como cabría esperar, ante esa declaración de que el movimiento no es más que una ilusión, la reacción no se hizo esperar. Algunos relatos sugieren que otros filósofos habrían pergeñado paradojas contra esta visión y que Zenón se servía de las suyas propias para defender la doctrina de su maestro.

En las nueve paradojas que conservamos, Zenón utiliza el método dialéctico de Sócrates y se basa en argumentos que podrían considerarse como los primeros ejemplos de prueba por contradicción (o reductio ad adsurdum para los más puristas). Esto es, al comienzo se enuncia como supuesto la misma posición que se quiere refutar y se construye, como su propio nombre indica, una contradicción que la imposibilita. Las hipótesis que sustentan dicha posición, en la vida cotidiana, se experimentan como innegables. Es posible que el lector haya oído hablar de tres de estos problemas filosóficos por ser los más famosos y difíciles de rebatir: el argumento de la dicotomía, la paradoja de la flecha en vuelo y la que nos ocupa, la de Aquiles y la Tortuga. Estos sofismas se denominan las “paradojas del movimiento” y son esencialmente equivalentes entre ellas, por lo que el comentario que aquí realizaremos de la última debería servir de acercamiento a las dos restantes. Hijo de un mortal y una ninfa, Aquiles fue sumergido por su madre en la laguna Estigia con el fin de hacerlo inmortal, pero olvidó mojar el talón por el que lo sujetaba, dejando vulnerable esa parte de su cuerpo, siendo este el origen de la expresión “talón de Aquiles”. Este héroe de la guerra de Troya era considerado el más veloz de los hombres. En la célebre obra homérica, la Ilíada, suele ser calificado como “el de los pies ligeros” y esta fama es la que le otorga un papel protagonista en la obra de Zenón. Para entender la paradoja debemos situarnos en una carrera imaginaria. Uno de los contrincantes será Aquiles, el más hábil de los guerreros aqueos y vencedor de mil batallas, un superhombre casi invencible y, como ya se ha dicho, el más rápido de los mortales. El otro contrincante será una tortuga, un animal de proverbial lentitud y parsimonia. Para acallar las quejas por lo desigual de este enfrentamiento, antes de empezar Aquiles decide darle un estadio de ventaja a la tortuga, es decir, la licencia de comenzar algunos metros por delante (a efectos prácticos no será relevante de qué distancia se trate exactamente por lo que diremos unos cien metros de ventaja).

En ese momento se da comienzo a la carrera. Suponiendo que ambos comiencen a correr a velocidad constante (obviamente, uno de ellos mucho más rápido que el otro), cabe esperar que Aquiles recorra rápidamente los cien metros de ventaja hasta llegar al punto de partida de la tortuga. Durante ese tiempo la tortuga, poseedora de un insospechado espíritu competitivo, se habrá desplazado unos cuanto metros hacia delante. Por supuesto, será una distancia más corta, pongamos cincuenta metros. Así que Aquiles, confiado en su enorme poderío físico, decide cruzar ese puñado de pasos, utilizando un poco más de tiempo y llegando de nuevo a donde estaba la tortuga. Como es claro, en ese intervalo de tiempo, ella habrá avanzado un poco más y Aquiles necesitará también algo más para llegar a ese tercer punto. Por lo tanto, cada vez que Aquiles llega a algún lugar donde ha estado la tortuga, esta ya no se encuentra allí y todavía ha de recorrer un poco para alcanzarla.

Y argumenta Zenón, con mucha razón, que así podríamos seguir hasta el infinito, por más que contradiga cualquier experiencia cotidiana: es claro que un corredor veloz alcanzará a uno lento aunque le dé ventaja siempre que la carrera dure lo suficiente.

¿O será esto tan solo una ilusión?

Una larga lista de pensadores ha tratado de refutar los contundentes argumentos de Zenón, desde filósofos clásicos del calibre de Aristóteles o Tomás de Aquino hasta autores más actuales de igual renombre como Bertrand Russell o Nick Huggett.

¿Podéis creer que incluso Jorge Luis Borges escribió un ensayo al respecto? La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga, en la que tilda a Zenón de incontestable.

En esta ocasión, yo destacaría la solución propuesta por Diógenes el cínico: se dice que al escuchar la paradoja no dijo nada, pero se levantó y caminó para demostrar a Zenón la existencia del movimiento. ¿Acaso no se utiliza la expresión “el movimiento se demuestra andando” para referirnos a un problema que se resuelve con un experimento práctico?

Sin embargo, para aclarar por completo cualquier paradoja se necesita mostrar qué es lo que está mal en el argumento, no solo la falsedad de las conclusiones. Así, la singular argumentación de Diógenes no habría servido para dilucidar el vencedor de tan desigual competición. Y ante un problema sin resolver es sabido que las matemáticas son una herramienta muy socorrida.

Para un físico, lo que prevalece son los datos que nos pueda suministrar la sensibilidad (en este caso, mediciones hechas con una cinta métrica y un cronómetro que permitan determinar, sobre el terreno, la posición y momento exactos en que coinciden los dos corredores). De este modo cuando, a posteriori y haciendo uso de herramientas matemáticas, se generalizan estos resultados por medio de la teoría de la mecánica, la paradoja de Zenón queda fuera de escena, ya que los aparatos de medición, y por ende, la física, se ciñen en todo momento a cantidades finitas. Sin embargo, es cierto que toda cantidad finita puede ser dividida in mente en infinitas partes y, si concedemos preeminencia a la razón, la aporía permanece inmutable.

¿Sabías que...?

Además de las célebres aventuras de Alicia, L. Carroll nos dejó multitud de poemas, textos satíricos, ilustraciones y ensayos. No sólo eso sino que tuvo su propio estudio de fotografía, donde realizó más de 3000 imágenes, incluyendo retratos de personajes notables. Más sorprendente aún: trabajó 26 años como profesor de matemáticas y público numerosos artículos en geometría, álgebra, lógica, matemática recreativa y el estudio de paradojas. ¡Todo esto mientras desempeñaba su oficio de diácono!

Retrato de Lewis Carroll por Natata en Shutterstock.

Un genuino matemático podría recurrir a las series geométricas (a saber, aquellas en las que los sumandos cumplen una relación del tipo $x_{n+1}=r \cdot x_{n}$ donde $r$ es un factor real que, si es mayor o igual a uno, consigue exasperar a más de un matemático), pero de nada nos serviría. Si enumeramos $1,2,\dots,n$ los momentos sucesivos en que Aquiles llega al punto donde estaba previamente la tortuga, podemos tomar $A_{n}$, $T_{n}$ y $d_{n}$ como las posiciones de Aquiles y la tortuga, respectivamente, así como la distancia entre estos, en el instante $n$. Consideremos entonces las sucesiones numéricas $\{d_{n}\},\{a_{n}\}=\{A_{n}-A_{n-1}\}$ y $\{t_{n}\}=\{T_{n}-T_{n-1}\}$, dadas las dos últimas por las distancias recorridas por cada corredor entre los momentos $n - 1$ y $n$. Tal y como hemos planteado el problema, sabemos que se satisfacen las siguientes relaciones para sus términos:

De donde un sencillo cálculo permite concluir que $d_{n}=\frac{d_{n-1}}{2}=\frac{d_{0}}{2^{n}}$, i.e., es una serie geométrica de razón $r=\frac{1}{2}$. De igual modo podemos notar que a $a_{n}=\frac{a_{1}}{2^{n-1}}$ y $t_{n}=\frac{t_{1}}{2^{n-1}}$. Es conocido que la suma de todos los términos de una serie geométrica de razón $r$ menor que uno es $S = \frac{e_{1}}{1-r}$; que en nuestro caso permite calcular la distancia recorrida por los contrincantes, a saber,

Así, el final de la carrera coincide con el lugar $2 \cdot d_{0}$ en que Aquiles alcanza, de hecho, a la tortuga. Llegados a este punto, un analista ingenuo comenzaría a celebrar su victoria sobre el eleata. No obstante, un estudio más cuidadoso de las series geométricas arroja un sorprendente resultado. Prestando atención a la sucesión $d_{n}$, vemos que sus términos cumplen que $d_{0}>0, d_{1}=\frac{d_{0}}{2}>0, d_{2}=\frac{d_{0}}{4}>0, \dots, d_{n}=\frac{d_{0}}{2^{n}}>0$ y tan solo al tomar el límite llegamos a un valor nulo,

Es decir, la separación entre los corredores solo desaparecerá tras una cantidad infinita de pasos. Se mantiene, de este modo, la paradoja. Por último, podríamos sacar la artillería pesada y pedir a George Cantor que, con su teoría de la medida para transfinitos, acabara con el embrollo; mas ni siquiera sus revolucionarios números cardinales $\aleph_{0}, \aleph_{1}, \dots$ servirían para tal fin. Podría parecer que $2^{\aleph_{0}}$, el cardinal de los números reales, permitiera dilucidar el problema, ya que representa la propiedad de continuidad existente en el espacio y el tiempo. Se puede, en efecto, establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales y los puntos de una recta (en nuestro caso, la pista de la carrera) y afirmar que tenemos $2^{\aleph_{0}}$ puntos en la recta. Del mismo modo, todo segmento tendría esta cantidad de puntos. Los defensores de Cantor argumentarían que los corredores recorren la totalidad de los puntos de la recta y que la distancia entre ellos, $d_{0}$, es despreciable, aunque contenga también un número infinito de puntos, ya que $2^{\aleph_{0}} + 2^{\aleph_{0}} = 2^{\aleph_{0}}$. Sin embargo, no se puede decir que el final de la carrera se sitúe en el punto $2^{\aleph_{0}}$ de la recta, porque el número cardinal de un conjunto infinito no es lo mismo que su número ordinal (es claro que en finitos así es, el décimo elemento es el último de un conjunto de diez objetos). Por ello, conocer la cantidad exacta de puntos entre Aquiles y la tortuga no parece que proporcione una respuesta completa al problema: solo conseguimos esconder el problema debajo de la alfombra. A todo aquel interesado en unirse a las filas (en su mayoría matemáticos, filósofos, incluso algunos físicos) de los que luchan esta batalla, no puedo sino recomendarle leer el trabajo de José Enrique García Pascua titulado Aquiles, la Tortuga y el infinito, el artículo A Discrete Solution for the Paradox of Achilles and the Tortoise de Vincent Ardourel (si estáis buscando algo más peliagudo) y cualquier cosa que encuentre en Internet sobre el tema. Le aseguro que no se verá decepcionado.

Sea como fuere, el lector tiene que admitir que existe la posibilidad de que Aquiles sea, en efecto, el vencedor de la carrera. El famoso escritor (y matemático y lógico y fotógrafo y diácono y… ) Lewis Carroll se imaginó este hipotético caso como verdadero y escribió una ficticia conversación entre Aquiles y la tortuga una vez finalizada la carrera.

En ella Aquiles, tras la victoria, se encuentra cómodamente sentado sobre el caparazón de la tortuga y esta, que aparentemente no está muy satisfecha con el resultado, decide regalarle algún dolor de cabeza al héroe jugando con las bases de la lógica. Así, la tortuga le da la vuelta la tortilla y habla a Aquiles sobre distancias que se hacen cada vez más grandes, y no menores como ocurría antes. Aludiendo a los Elementos de Euclides, la tortuga considera la argumentación lógica siguiente:

• A: Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí. (La primera noción común de Los Elementos de Euclides)
• B: Dos lados de este triángulo son dos cosas que son iguales a una misma cosa.
• C: Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.

Entonces, la tortuga le pregunta a Aquiles si C se puede deducir lógicamente de las premisas A y B, y Aquiles concede que obviamente lo hace.

Ella le pregunta si puede haber un lector que admita que el argumento es lógicamente válido como una secuencia, pero que niega que las premisas A y B sean ciertas. Por supuesto, Aquiles acepta que este lector pueda existir. A continuación, y por analogía, la tortuga se pregunta si puede existir un segundo tipo de lector, uno que acepte que las premisas A y B son ciertas, al tiempo que no acepta el principio de que “si A y B son ciertas, entonces C debe ser cierta”. Aquiles otorga a la tortuga que este segundo tipo de lector también puede existir. Llegados a este punto, la tortuga pide que se la trate como un lector del segundo tipo, y reta a Aquiles a obligarla a aceptar la premisa C. Para tal fin, Aquiles tiene que añadir una nueva hipótesis:

• D: Si A y B son ciertas, entonces C debe ser cierta.

Ahora la tortuga acepta la premisa D, pero sigue negándose a aceptar el argumento extendido. Cuando Aquiles, que empieza a mosquearse, le exige que al aceptar A y B y D debe aceptar C, la tortuga señala que esta es otra proposición hipotética, y sugiere que incluso aceptando D aún puede negar la conclusión C. ¿La solución? Añadir previamente la veracidad de la siguiente hipótesis:

• E: Si A y B y D son ciertas, entonces C debe ser cierta.

¿Se ve ya por dónde van los tiros? La tortuga accede a aceptar cada premisa hipotética de este tipo, pero niega que la conclusión se siga de las premisas, ya que cada vez niega la hipótesis de que si todas las premisas escritas hasta ahora son ciertas, C debe ser verdad. Por lo tanto, la lista de premisas continua creciendo sin fin, dejando el argumento de siempre en la forma:

• $(1):$ “Dos cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí.”
• $(2):$ “Dos lados de este triángulo son iguales al tercer lado.”
• $(3):$ $(1) \;\; \text{y} \;\; (2) \Rightarrow (\omega)$
• $(4):$ $(1),(2),(3),\dots \;\; \text{y} (N-1) \Rightarrow (\omega)$
• $(\omega):$ “Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.”

El relato de Carroll termina con Aquiles sumido en la desesperación tras meses atrapado en esta nueva carrera, pero el problema lógico no tiene un desenlace tan claro. La paradoja surge porque, a fin de explicar el principio lógico, se propondrá un principio anterior. Y, una vez que se cuenta con este principio, entonces se debe introducir otro más para explicar este. Por lo tanto, a medida que la cadena causal continúa, se va a parar a una secuencia infinita de proposiciones que surge de la deducción modus ponens, la más famosa de las reglas de inferencia en lógica proposicional.

Dime, estimado lector, ¿te apetece profundizar más en este quebradero de cabeza? En ese caso ojea el artículo La paradoja de Lewis Carroll en Douglas R. Hofstader de Luis Camacho.

No todo está perdido. Para Carroll se trata aquí de distinguir entre leyes lógicas y reglas de inferencia que se desprenden de ellas. En otras palabras, esto se evita si se introduce de antemano un sistema formal, donde el modus ponens es simplemente un axioma, y luego se verifica con el argumento más antiguo e irrefutable de todos: porque es así. Si se está participando en un sistema formal lógico, entonces solo hay que seguir las reglas sin cuestionarlas, como si de un juego se tratara. Por lo tanto, la introducción del sistema formal de la lógica resuelve la regresión infinita al detenerla ante los axiomas.

Podríamos concluir que no todo tiene una demostración matemática y que quizás Diógenes no estuviera tan equivocado al resolver de un plumazo la paradoja de Zenón. ¿No es, al final, en muchas ocasiones, la solución más simple la más acertada?