Poesía y Matemáticas: Una Relación Sorprendente

La conexión entre poesía y matemáticas puede resultar llamativa. El mundo de las matemáticas es lógico y objetivo, mientras que la poesía es subjetiva y está repleta de dobles significados. Sin embargo, varios autores han llamado la atención sobre el cruce ocasional de ambas materias. Esto nos lleva a plantear las siguientes cuestiones: ¿tienen las matemáticas influencia en la poesía?, ¿son los conceptos matemáticos objetos de inspiración para los poetas?, ¿podría existir incluso una relación más profunda entre dos disciplinas en apariencia tan distintas?^[1]

La belleza poética del quinto postulado de Euclides

Euclides reunió en su obra Elementos gran parte del conocimiento de aritmética y geometría alcanzado en la época helenística^[3]. El trabajo de este matemático griego, que vivió en la ciudad de Alejandría alrededor del siglo III a.C., es valorado como uno de las más relevantes en la historia de las matemáticas^[4].

Una de las aportaciones más importantes de Euclides es un conjunto de cinco postulados que constituyó el punto de partida para la construcción de su geometría. Entre ellos, se encuentra la afirmación de que “un segmento rectilíneo siempre puede ser alargado” o que “hay una sola circunferencia con un radio y centro dados”. Estos postulados, que pueden parecer en principio evidentes y sin mayor trasfondo, han determinado la forma que tenemos de concebir la geometría. Es difícil imaginar una introducción al mundo de las matemáticas en la infancia que no comience por explicar el concepto de punto, recta o círculo.

El último y menos evidente de los postulados euclidianos es el que ha tenido mayor relevancia en el desarrollo de las teorías matemáticas modernas. Este quinto postulado de Euclides, reformulado en el siglo XVIII en un enunciado equivalente (axioma de Playfair), afirma lo siguiente: “desde un punto exterior a una recta se puede trazar una, y sólo una, paralela a la misma”^[5]. Durante mucho tiempo, los matemáticos se preguntaron si esta proposición podía ser demostrada a partir de los cuatro primeros postulados o si, por el contrario, era independiente de ellos.

La respuesta no llegó hasta el siglo XIX. Al parecer, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), una de las figuras más dominantes del periodo, dedicó parte de su vida al intento de demostrar el llamado “postulado de las paralelas” a partir del método de reducción del absurdo. Finalmente, se planteó la posibilidad de diseñar una nueva geometría, distinta a la euclidiana y consistente desde el punto de vista matemático. A partir de la negación del quinto postulado de Euclides, Gauss abrió la puerta a un campo completamente nuevo y lleno de posibilidades: acababa de nacer la geometría no euclidiana^[6].

Ilustración de Euler, Gauss y David Hilbert, por Irene Ramiro López

La historia del quinto postulado despierta fácilmente el interés de cualquier persona con gusto por el mundo de las matemáticas. Las razones son varias. La geometría euclidiana fue capaz de perdurar durante más de dos milenios y el análisis del “postulado de las paralelas” se convirtió en objeto de estudio de muchos matemáticos. Cuando un problema perdura durante tanto tiempo, a menudo su solución se convierte en la llave a un terreno inexplorado, como sucedió en este caso. Negar el quinto postulado no solo tuvo implicaciones enormes en la física, convirtiéndose a comienzos del siglo XX en una pieza fundamental de la teoría de la relatividad, sino que además proporcionó una visión distinta del campo de las matemáticas. Las demostraciones geométricas dejaron de basarse en figuras y la axiomatización utilizada por David Hilbert en su obra en 1899 cobró importancia. De esta forma, la geometría se alejaba del limitado mundo que observamos y podía comenzar a vislumbrar nuevos horizontes^[7].

A pesar de que el largo camino recorrido por los matemáticos con el fin de demostrar o refutar el postulado de Euclides es fascinante, parece que la atracción por este tema es solo compartida por aquellos que tienen algunas nociones sobre ciencia. Es difícil a menudo explicar el empeño de los matemáticos que invirtieron tanto tiempo y dedicación en tratar de demostrar si realmente solo puede trazarse una recta paralela a otra desde un punto exterior a la misma. Abatidos y desilusionados por sentirse incomprendidos por su entorno, muchos matemáticos recurren a comentar las implicaciones que tienen algunas de sus indagaciones en el mundo real. Algunos, al ser preguntados si mereció la pena dos milenios de intentos fallidos de demostrar un postulado que acabó siendo refutado, hablarán de la relevancia de uno de los modelos no euclidianos, la geometría de Riemann, en el estudio de la relatividad general. Otros no dirán nada, refugiándose en la idea de que, por lo menos, unas pocas personas comparten con ellos la fuerte atracción por las soluciones rigurosas a problemas matemáticos.

Sin embargo, en este caso no ha sido exactamente así. El reconocimiento de la obra euclidiana no ha quedado limitado al mundo de las matemáticas. En 1922 la poeta Edna St. Vincent Millay, ganadora del premio Pulitzer de poesía, escribía el soneto que encabeza este artículo, donde expresa su admiración por la forma que tuvo Euclides de ver la realidad que le rodeaba. En su poema, afirma que “solo Euclides ha contemplado la belleza desnuda”. Este verso, breve y sugerente, transmite admiración por la capacidad del matemático griego de entender de manera lógica y sencilla la realidad. El poema presenta un aire de misterio y aleja en cierta forma al lector de la posibilidad de entender realmente qué es esa “belleza desnuda” y por qué solo Euclides supo verla. Un matemático podría escribir un libro entero tratando de demostrar a un público general por qué es interesante la obra de Euclides. Y, sin embargo, nunca conseguiría expresarlo como lo hace el poema de Millay. Quizás sea la brevedad la clave del éxito, la economía del lenguaje. De la misma forma que la importancia de la obra Elementos no es otra que reunir en pocos postulados el conocimiento de geometría de toda una época.

Las matemáticas como fuente de inspiración de la poesía

El poema de Millay en honor a Euclides no es un caso aislado. Muchos artistas a lo largo de la historia han sabido apreciar la belleza de las matemáticas. Y no son pocos los poetas que han encontrado en los objetos matemáticos una mina de oro para sus metáforas y lenguaje simbólico.

Emily Dickinson, la conocida poeta estadounidense del siglo XIX, es un ejemplo de artista que se animó a explorar el área de las matemáticas. El profesor retirado Thomas L. Moore afirma en un artículo sobre este tema que Dickinson no solo estaba fascinada por las matemáticas, sino que además leía libros sobre esta materia de la misma forma que hacía con toda la literatura: empleándola como fuente de inspiración para su poesía^[8]. En concreto, Moore sostiene que el libro utilizado por Dickinson para aprender sobre álgebra, An Introduction to Algebra (Jeremiah Day), presenta un lenguaje literario que pudo haber inspirado a la poeta. De esta forma, Dickinson habría logrado apreciar la belleza de las construcciones matemáticas y, sobre todo, habría aprendido a transmitirla en su obra. Podemos ver un ejemplo de esto en la primera estrofa de uno de sus poemas.

El tema del poema es la relación de la voz poética con una divinidad a la que se alude en un inicio con el pronombre “He” y que más adelante, en la segunda estrofa, se denominará “God”. Dickinson se inspira en el concepto de suma infinita de fracciones algebraicas. A medida que añadimos términos en la serie, nos acercamos cada vez más al valor numérico que esta representa.

La poeta comienza, empleando el término “suffice”, con una igualdad aproximada entre ella y él: I≈Him y He≈Me. Según la interpretación de Moore, “He” no equivale al valor real, completo y perfecto, sino todo lo contrario. Es decir, la poeta no quiere expresar su impotencia al no ser capaz de alcanzar la perfección del Dios que admira. Por el contrario, si analizamos con atención el primer verso, observamos que está segura de ser suficiente para él y la cuestión que en realidad se plantea es si él lo es para ella. En términos matemáticos, “He” es la serie infinita y ella el valor real. Es más, la voz poética es quien tiene la capacidad de decidir la suficiencia de la aproximación mediante el estudio de la serie en el límite del infinito.

Dickinson proporciona en su poema una visión poco habitual de una relación espiritual con una divinidad. La poeta cuestiona que una creencia religiosa pueda ser adecuada para ella y está inmersa en la búsqueda de una relación estrecha con Dios que pueda satisfacerle. Para expresar este tedioso camino se imagina atrapada en una interminable suma de términos cada vez más insignificantes que va acercándose a su ideal, pero que nunca es suficiente. Entender esta referencia matemática es clave para poder comprender el significado del poema.

Fijémonos ahora en el ejemplo del poeta y doctor en lógica matemática Pedro Poitevin.

El concepto de la proyección estereográfica inspira este poema. Para entenderlo, debemos pensar en un plano atravesando el ecuador de una esfera. A cada punto z del plano le corresponde exactamente un punto P de la superficie de la esfera y queda determinado por la intersección de la línea que atraviesa el punto z y el polo norte N. A este último punto N le correspondería el infinito, como se observa en la Figura 1^[11].

Figura 1. Proyección estereográfica.

La interpretación matemática del poema de Poitevin es más evidente y directa que en el caso anterior. Tan solo debemos seguir de forma sistemática los pasos que se van indicando. Imaginemos dos gemelos, al primero le corresponde el punto P y al segundo el z. Es decir, uno se encuentra en la superficie de la esfera y el otro en el plano. Ambos están conectados por la línea recta que los une. Poco a poco, el punto P se va acercando al polo norte de la esfera. El punto z está, por lo tanto, cada vez más lejos, apenas puede ser ya vislumbrado (“ayer desvanecido en el poniente”). No obstante, ambos permanecen unidos, uno es la proyección estereográfica del segundo (“una línea nos une desde el polo”). La historia de los gemelos no tiene un final feliz. El punto P acabará en el polo norte de la esfera, infinitamente lejos del punto z (“él se aleja inconscientemente hasta lo vasto”). Los gemelos, que comenzaron juntos en el ecuador de la esfera, han quedado separados para siempre.

El título del poema nos permite tener una visión completa del significado. “Evanescente” hace referencia al fenómeno del “síndrome del gemelo desaparecido o evanescente”, que sucede cuando uno de los dos fetos desaparece durante el embarazo.

La última referencia es quizás la más abierta a interpretación. Cuando el primer gemelo evoca a su hermano, dice que lo vislumbra en “la estereografía del consuelo”. La voz poética mantiene la vaga esperanza de que su gemelo no haya desaparecido del todo, sino que exista la posibilidad de reencuentro en el infinito, o lo que el lector podría interpretar como la vida eterna tras la muerte.

Poitevin emplea las matemáticas para contar la historia de dos gemelos separados antes de nacer. El poema es cautivador incluso sin comprender la referencia a la proyección estereográfica, pero es indudable que el conocimiento de este concepto proporciona al lector una comprensión del mensaje poético mucho más completa y estimulante.

Los dos poemas comentados son completamente distintos y apenas presentan un elemento en común: las ideas matemáticas subyacentes a sus versos. Como estos ejemplos podríamos citar otros. Varios poetas se han inspirado en ideas matemáticas y, de hecho, existen obras completas sobre este fenómeno.

Por otra parte, la poesía no solo ha recibido influencia de las matemáticas en su contenido, sino también en la forma. Por ejemplo, el palíndromo es un tipo de estrofa que puede ser leída de izquierda a derecha o viceversa, recordando un número capicúa. Una variante más reciente sería el aelíndromo, ideado por el poeta contemporáneo A. Etherin, a partir de secuencias numéricas con un determinado sentido matemático^[12]. Fijémonos en el siguiente ejemplo, donde se ha optado por utilizar como patrón el número $\pi$.

Descomponemos los dos primeros versos de este poema en conjuntos de letras: A=“low”, B=“f”, C=“atal”… Obtenemos un total de 14 conjuntos, que coincide con el número de cifras de la aproximación de 𝜋 utilizada: 3,1415926535897. El número de elementos de cada conjunto es igual al dígito de $\pi$ correspondiente. Es decir, |A|=3, |B|=1, |C|=4… Los dos últimos versos se construyen invirtiendo la secuencia de los dos primeros. Por lo tanto, la estructura A-B-C-D-E-F-G-H-I-J-KL-M-N se convierte en N-M-L-K-J-I-H-G-F-E-D-C-B-A. Observamos que, efectivamente, los dos últimos conjuntos de letras son “atal”, “f” y “low”.

En general, existen varios tipos de rimas que remiten a estructuras matemáticas. Puede ser un juego entretenido para el lector experto llegar a visualizar en un poema el esquema de sus versos.

La influencia de la poesía en las matemáticas

En el anterior apartado se ha mostrado la intervención de las matemáticas en la poesía, tanto en el contenido como en la forma. Sin embargo, estoy segura de que una mente matemática se preguntaría por el proceso inverso: ¿tiene algún tipo de relevancia la poesía en el mundo de las matemáticas?

Con el fin de cerrar el círculo y establecer una correlación entre ambas disciplinas, una doble implicación hablando en términos matemáticos, procederé en este apartado a tratar esta cuestión. Aunque no sea evidente en un inicio, es posible sostener que las matemáticas se ven influidas de alguna forma por la poesía. Proporcionaré varios argumentos.

El primero es quizás algo ambiguo e incluso inocente. Me refiero a la idea clásica de que las matemáticas tienen una belleza intrínseca y que a veces la búsqueda de la perfección y la simetría permite el avance de la ciencia. Como puede deducirse del poema de Millay, los matemáticos son capaces de ver la “belleza desnuda”.

Ron Aharoni sostiene en un artículo que la poesía y las matemáticas tienen un mecanismo común para “crear belleza”^[14] . Afirma que ambas materias se ocupan de la búsqueda de patrones ocultos, son sorprendentes, presentan giros inesperados y, sobre todo, permiten cambios de perspectiva. Esta última característica es clave en muchísimos problemas de matemáticas y ciencia en general, puesto que ver las cosas de otra forma puede conducir a la solución deseada. En poesía, el cambio de perspectiva sucede a menudo cuando la idea principal no es expresada de forma directa, sino que el poeta evoca un tema en apariencia distinto. Con frecuencia proporciona pequeños detalles para que el lector reflexione sobre el mensaje subliminal oculto en los versos y lo comprenda una vez logre por sí solo cambiar el punto de vista.

El lenguaje poético es variado y complejo en ocasiones. Las metáforas tienen el objetivo de estimular la imaginación del lector, creando un espacio libre de interpretación. Los poetas juegan con las palabras y las combinan para transmitir de formas distintas una misma idea. Curiosamente, los matemáticos hacen lo contrario. Tal y como enunció Poincaré en su famosa cita, “mathematics is the art of giving the same name to different things”^[15]. En ciencia en general, fenómenos diferentes pueden ser descritos con ecuaciones similares. Encontrar conexiones entre áreas distantes es uno de los aspectos más creativos y bellos del proceso científico. En cualquier caso, tanto la búsqueda matemática de patrones comunes, como la habilidad poética de describir un mismo concepto de formas distintas, tienen un punto en común: ambas requieren creatividad e ingenio.

Algunos científicos han sostenido la idea, tal vez algo extravagante, de que hay ecuaciones poéticas en sí mismas, como la fórmula de Euler: $e^{i\pi}=-1$. Sin duda esta opinión es controvertida y depende mucho de la definición que se atribuya al concepto de poesía. No obstante, una cosa está clara: ciertas ideas, demostraciones y ecuaciones despiertan emociones entre quienes las estudian. Somos capaces de distinguir entre fórmulas más o menos populares y está claro que algunas de ellas sobresalen porque existe una opinión consensuada de que son bellas.

Es curioso comprobar cómo en un campo en principio tan lógico y objetivo como el de las matemáticas el ser humano es capaz de encontrar un lado estético y libre de interpretación. Un tema complejo y muy interesante es hasta qué punto la búsqueda de la simetría y la belleza ha contribuido al desarrollo de la ciencia o bien lo ha paralizado. ¿Tiene sentido el intento de construir matemáticas casi poéticas?

Hasta este punto la explicación que he dado de la influencia de la poesía en las matemáticas no deja de ser imprecisa y restringida a la opinión individual. Sin embargo, existe un caso excepcional en el que las matemáticas se han desarrollado a partir de la poesía. Me refiero a la estructura de la sextina, descrito con detalle por Poitevin en un artículo reciente^[16].

La sextina es una composición formada por seis estrofas de seis versos y una final de solo tres. Su origen se remonta al siglo XII y se atribuye al trovador provenzal Arnaut Daniel^[17]. Presenta una estructura singular que consiste en la repetición de las últimas palabras de cada estrofa en las siguientes, pero alterando el orden de aparición.

Si consideramos que a la palabra final de cada uno de los seis primeros versos de la sextina le corresponde un número, podemos describir la primera estrofa con la secuencia 123456. Siguiendo esta notación, el poema completo puede representarse de la siguiente forma: 123456, 615243, 364125, 532614, 451362, 246531, 531. La última estrofa reúne de forma habitual las seis palabras finales del resto del poema, dos por verso. En el análisis que realizaremos a continuación nos centraremos exclusivamente en las seis primeras estrofas.

Figura 2. Esquema de la permutación de la sextina, en forma de espiral.

La estructura corresponde a la permutación (1,2,4,5,3,6) y puede ser representada como se muestra en la figura 2. Si recorremos la espiral comenzando en el número 6 obtenemos la secuencia de la segunda estrofa a partir de la primera. El término que hemos designado con el número 6 pasa a la posición primera en la segunda estrofa de la sextina, el 1 acaba en posición segunda y así sucesivamente^[18].

El escritor y poeta Raymond Queneau (1903-1976)^[19] se interesó en la estructura de la sextina y se preguntó cómo podría generalizarse este caso particular a un poema de $n$ estrofas y $m$ versos. Más adelante, M. Bringer^[20] formalizó en términos matemáticos esta estructura, definiendo una permutación $\sigma_{n}$ del grupo simétrico de $n$ elementos $S_{n}$ (ver ecuación). Bringer denominó al subgrupo de Sn generado por $\sigma_{n}$ grupo de Queneau-Daniel.

Se observa que, en el caso de la sextina, $\sigma_{6}(1)=6$, $\sigma_{6}(2)=1$, $\sigma_{6}(3)=5$ y así para el resto de números representando las últimas palabras de los versos, tal y como hemos descrito anteriormente. Una propiedad relevante de la sextina ($n=6$) es que el subgrupo generado por $\sigma$ en el grupo de permutaciones de seis elementos es cíclico de orden seis. Es decir, $\sigma_{6}^{6}=\epsilon$, donde $\epsilon$ denota la permutación identidad y $\sigma_{6}^{6}\neq\epsilon$ con $p < 6$. Por lo tanto, si aplicamos la permutación $\sigma_{6}$ a la última estrofa recuperamos la estructura de la primera. No todos los números enteros cumplen esta propiedad. Un contraejemplo es $n=4$ (ya que $\sigma_{4}{3}=\epsilon$).

Los números enteros para los que la permutación $\sigma_{n}$ en $S_{n}$ tiene orden $n$ se denominan admisibles o números de Queneau. Sobre ellos se han llegado a varios resultados interesantes, reunidos por Asveld^[21]. Por ejemplo, puede demostrarse que si $n$ es admisible, entonces $2n+1$ es un número primo. Por lo tanto, es posible definir un grupo de números primos asociados a los $n$ de Queneau.

Ahora bien, sigue abierta la siguiente pregunta: ¿cuántos números admisibles existen? La cuestión puede abordarse a partir de la conjetura de Artin sobre raíces primitivas. Esta implica que existen infinitos números admisibles de Queneau. Dicho en otras palabras, si la conjetura fuera demostrada podría afirmarse que existen infinitas formas de construir composiciones poéticas con estructuras análogas a la de la sextina, cada una de ellas correspondiente a un $n$ diferente.

En suma, es posible conectar una de las conjeturas más importantes en la actualidad con un poema escrito por un trovador provenzal del siglo XII. Lo más probable es que Arnaut Daniel no fuera consciente de la relevancia de haber escogido el número 6 para su composición poética y que no estemos más que ante una coincidencia afortunada. Sea como fuere, es un claro ejemplo de cómo, aunque de forma puntual, la poesía ha inspirado el desarrollo de nuevas ideas matemáticas, y el uso de patrones comunes permite percibir ciertos paralelismos entre ambas disciplinas.

La sandalia de Euclides

Como se ha demostrado, en ocasiones la poesía y las matemáticas se han influido mutuamente. Incluso, salvando las distancias, podríamos considerar que no son disciplinas tan dispares, pues comparten un mismo interés por las estructuras lógicas y la estética. Y, sobre todo, porque pocos versos y ecuaciones son capaces de transmitir ideas complejas.

Es cierto que las matemáticas y la poesía no se necesitan para existir, sino que se dan de modo independiente; sin embargo, no podemos ignorar las distintas formas en que pueden llegar a relacionarse. Al fin y al cabo, existen muchas maneras de contar una misma historia. Podemos hablar del quinto postulado de Euclides, su largo y complicado desarrollo y la enorme influencia que ha tenido su refutación en el origen de una nueva geometría que ha cambiado nuestra forma de entender la realidad. Pero también podemos prescindir de todo el discurso anterior y limitarnos a recrear la imagen de Euclides paseando por las calles de Alejandría, vestido con una larga túnica blanca.

El matemático griego camina por el suelo empedrado y piensa. Podemos intuir, aunque nunca llegaremos a comprenderlo del todo, cómo observa la realidad y la reinterpreta en términos de figuras geométricas.

Han pasado más de dos mil años, pero, como supo expresar Millay^[22], el ruido de su enorme sandalia al golpear contra la piedra sigue y continuará resonando eternamente. Aunque nos hayamos alejado de sus enseñanzas, a pesar de que el mundo sea distinto, jamás dejaremos de escuchar el ruido de la sandalia de quien fue capaz de ver la “belleza desnuda”.