¿Qué fue primero, los decimales o las sumas infinitas?

Antes de contestar a la pregunta, primero se debe atender a una segunda. ¿Cuánto es noventa sobre veintitrés? Pues ahora te respondo, en cuanto saque la calculadora. Dónde estará, quizá la haya metido en el bolsillo peque- ¡No hay tiempo! ¡Llega la siguiente cuestión! ¿Cuánto vale pi? Pero bueno, qué ansias. Pues a ver, pi es sencillo; equivale a tres coma catorce. ¿Coma catorce, y qué más? Si tienes un poco de paciencia, enseguida te enumero los siguientes decimales, pero has de esperar puesto que me he confundido de bolsillo. Y pensar que una mochila no tiene pérdida… Y, ¿cuánto es raíz de dos? ¡Ya está, aproximadamente $3,91$! Pero no pongas cara de confusión, es eso lo que vale noventa entre veintitrés. Ah, que ahora me has hecho otra pregunta. Bueno, te contesto a la de pi: los siguientes decimales son $1$,$5$,$9$ y $2$. Y raíz de dos es $1,414$ y pico, un pico nada periódico.

Cuánto es, cuánto vale, a qué equivale… nos hacemos estas preguntas a pesar de conocer ya estos números. Conceptualmente, noventa sobre veintitrés es el valor que resulta de dividir la unidad en veintitrés partes y repetir esa cantidad noventa veces; pi, el área del círculo de radio uno; y raíz de dos, el número que multiplicado por sí mismo te da dos. Aun así, muchas veces preferimos ver su expresión en decimal para entenderlos “mejor”, de manera más intuitiva. Esto nos permite situarlos en la recta real y, por tanto, compararlos.

Pues esto que es tan útil y resulta tan instintivo no siempre se ha usado a lo largo del tiempo. De hecho, hasta hace relativamente poco, no se había planteado que un número entre $0$ y $1$ pudiera expresarse en base diez con infinitas cifras detrás de la coma, sino que se usaban otros sistemas diferentes.

Remontándonos a la cuna de las matemáticas, hace cuatro milenios los egipcios representaban la parte decimal de un número como una suma de inversos de enteros. Por ejemplo, $\frac{41}{42}$ se escribía como $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}$ . Un medio era directamente $\frac{1}{2}$. A ojos de un contemporáneo, este método podría etiquetarse como enrevesado, pero realmente esconde una gran utilidad, pues permite elaborar una medicina o repartir un terreno de manera simple. Véase, es más sencillo dividir un litro de aceite en dos, tres o siete partes iguales, que en cuarenta y dos. Además, con este sistema también se puede apreciar cuán grande es un número respecto a otro. Por ejemplo, es razonable pensar que $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}$ es mayor que $\frac{1}{2} + \frac{1}{10^3}$, porque observamos primero el término más grande, $\frac{1}{2}$, notamos que es igual, pero al mirar al segundo, vemos que $\frac{1}{3}$ es considerablemente mayor que $\frac{1}{10³}$. Lo malo es que este método de comparación tiene una desventaja: no siempre es mayor el número cuyo primer inverso, de todos los que hayamos comparado hasta el momento, sea mayor. Por ejemplo, $\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} > \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$. Y además, si intentásemos escribir un irracional como suma finita de inversos, fracasaríamos porque empezaríamos a extraer sumandos, pero… ¡nunca acabaríamos! Pero, en realidad, ¿qué utilidad tendría preparar un ungüento con $\sqrt{2}$ gramos de anís?

Coetáneamente, en la antigua Mesopotamia, los babilonios fueron pioneros en usar la notación posicional. Pero no decimal, sino sexagesimal, lo cual es curioso; les era más natural contar hasta sesenta que hasta diez. O a lo mejor los muchos divisores de 60 eran una oferta que no podían rechazar. Los decimales, por supuesto, también estaban en base sesenta. Si entendemos la coma como un separador entre posiciones y el punto y coma como un separador entre la parte decimal y entera, un medio es $0;30$ (pues $\frac{1}{2} = \frac{30}{60}$) y $\frac{101}{200}$ es $0;30,18$, porque $\frac{101}{200} = \frac{1}{2} + \frac{1}{200} = \frac{30}{60} + \frac{18}{60²}$. Aunque este sistema se acerca más al moderno, los babilonios todavía no coquetearon con la idea de escribir infinitas cifras decimales. Por ejemplo, $\frac{1}{7}$ no se puede escribir en base sesenta con un número finito de cifras decimales pues el denominador no es divisor de $60$. Para solucionar este problema particular, aproximaban $\frac{101}{200} ≈ 0;8,34$. En base $10$, $\frac{1}{7} = 0,14286...$ y $0;8,34 = \frac{30}{60} + \frac{34}{60²} = 0,14278...$ ¡Ni tan mal! Esta preferencia por aproximar podría haber surgido, de nuevo, por cuestión de pragmatismo en sus labores cotidianas. No estaban interesados en el rigor que caracteriza a las matemáticas modernas. Y en realidad, nosotros muchas veces tampoco. Si lo pensamos por un momento, siempre aproximamos un p-valor, la molaridad de un soluto, el peso de una neurona artificial y los ohmios de una resistencia.

Más adelante, hacia el siglo V a. C., los griegos se sumieron en el estudio de la geometría, de las relaciones entre longitudes, áreas y volúmenes. Sus logros fueron alucinantes: desarrollaron ideas fundamentales como la reducción al absurdo para demostrar una proposición o el hacer una cantidad tan pequeña como se quiera (y esta se convertiría en el infame épsilon). Sin embargo, había algo muy peculiar de ellos comparados con sus predecesores, y es que no usaban números. Para ellos pi no era $3.14$, sino el área de una circunferencia de radio la unidad. Es más, el área de un triángulo era el de aquel que estuviera ilustrado en la página. Nada de base por altura, ni base de tamaño dos. Sus observaciones eran puramente geométricas; por ende, desarrollaron una intuición profundamente geométrica. Entonces no estaban interesados en escribir un número decimal, ¡porque no estaban siquiera interesados en escribir ningún número!

Tampoco era el objetivo principal de los árabes entre los siglos IX a XIV d.C. Mientras que sus antecesores griegos se habían centrado en el estudio de lo que hoy en día catalogamos como geometría, ellos construyeron los pilares del álgebra. Se afanaban en la elaboración de reglas algebraicas, la resolución de ecuaciones polinomiales, incluso hasta cómo expresar un cociente de polinomios como una suma recursiva.

Esto último, obra de Al-Samawal, supuso un paso más en la historia de las matemáticas, y más particularmente en la del Álgebra. Sin embargo, a Al-Samawal se le ocurrió dar a $x$ el valor $10$. Así, se expresa un tercio por primera vez como:

Caramba. Qué útil, esto no solo permite escribir un número fraccionario en la base en la que se quiera, sino que hace posible ir sacando las cifras decimales hasta donde uno quiera. Es más, da la intuición de que, como la suma es infinita, la expansión decimal también lo será. Y entonces de aquí a pensar que los irracionales también se pueden expresar con infinitos decimales está solo a un salto.

La cuestión del huevo y la gallina no está clara, pero sí la de los decimales y las series. Y la respuesta es contraria a la que uno espera. Las sumas infinitas, algo que a priori parece poco intuitivo (¿cómo es que si sumas indefinidas veces el resultado es finito?), resulta que catapultaron los decimales modernos, tan básicos en la vida actual, desde las coordenadas geográficas a los céntimos. ¿Te imaginas que el cajero del supermercado te dijera que la compra te sale a un medio y un décimo de euro? Poco más y de repente el Mercadona está a orillas del Nilo.

Bibliografía

1. A History of Mathematics: An Introduction. Victor J. Katz