Reflexionar y Rotar

En muchas ocasiones, sobre todo en la etapa de estudiante, uno puede pensar que está acumulando una serie de conocimientos que realmente no va a aplicar el resto de su vida. El álgebra abstracta bien podría servirnos de ejemplo, pero… ¿Qué tal si tratamos de ir un poco más allá? Como dicta el sentido común, si el álgebra abstracta se inventó (o descubrió) fue con un motivo (o muchos). Pero como no disponemos de tiempo suficiente para formarnos en medicina, ¿qué tal si empezamos jugando al parchís?

Imaginemos por un segundo que disponemos de un tablero de parchís transparente (de tal manera que al poner boca abajo el tablero seguiríamos viendo los colores), es decir, tenemos un cuadrado, y en cada una de sus esquinas tenemos la “casa” de cada uno de los colores. Seguramente, si nos piden calcular de cuántas formas podemos colocar el tablero de forma que nos den combinaciones diferentes de colores en las esquinas, tardaríamos un rato en dibujarlos todos, pero al final nos daríamos cuenta de que tenemos ocho posibilidades exactamente.

Lista de los 8 posibles movimientos.

¿Qué ocurriría si te pidiera que lo hicieras para, en lugar de un cuadrado (nuestro tablero), otro polígono regular? Es decir, un tablero más sofisticado para más jugadores, de, en lugar de cuatro colores, de veinte colores. No parece una tarea atractiva y seguramente comenzaríamos a confundir rápidamente unos dibujos con otros. A mí, desde luego, no me apetecería hacerlo.

Es aquí donde, en la comunidad científica, personalidades brillantes reflexionando se dieron cuenta de que todos estos movimientos realmente se pueden construir a partir de combinaciones de dos que podemos considerar principales: rotar y reflexionar (lo que comúnmente llamaríamos “hacer una simetría”, “reflejar”).

A partir de aquí siempre utilizaremos la expresión “cuadrado original” para hablar del tablero y entenderemos simetría como “hacer una reflexión”, como se indica en las ilustraciones.

A modo de ejemplo visual, y para convencernos de que no hay más combinaciones posibles, vamos a pensar en cuatro movimientos al azar de los ocho listados arriba para ver que siempre obtenemos uno de esos ocho. Aplicamos un movimiento al cuadrado original, y el siguiente movimiento lo aplicaremos al tablero que obtenemos como resultado.

Revisitando un poco la primera ilustración, nos damos cuenta de que cada cuatro rotaciones volvemos a nuestro cuadrado original (lo que en matemáticas llamamos la identidad) y en el caso de una simetría es más fácil aún, solo habría que reflexionar dos veces (sobre un eje dado) para volver al punto de partida (nuestro cuadrado original).

Ejemplo de aplicación de unos cuantos movimientos escogidos al azar.

Si codificamos rotar en sentido antihorario con la letra “$r$” y hacer la simetría respecto al eje horizontal con la letra “$s$”, y entendemos multiplicar un elemento consigo mismo como repetir el movimiento; podemos escribir todos los movimientos ordenadamente en una tabla. Ponemos en la primera fila y en la primera columna de la izquierda los 8 elementos ($1$, $r$, $r^{2}$, $r^{3}$, $s$, $sr$, $sr^{2}$, $sr^{3}$) y operamos:

Volvemos a la conclusión de que para cualquier combinación de esos ocho movimientos, el movimiento resultante vuelve a ser uno de los ocho básicos, como ya nos convencimos antes. En álgebra cuando ocurre esto afirmamos que la operación (en este caso hacer rotaciones y simetrías) es cerrada.

También nos damos cuenta de que si le aplicamos a cualquier movimiento nuestro cuadrado original, lo correspondiente a “no hacer nada”, siempre nos devuelve ese mismo movimiento. Un elemento que cumple este requisito al hacer la operación en cualquier orden pasaremos a conocerlo como la identidad, porque es único.

Yendo más allá, observamos que para todo elemento, existe otro dentro de los ocho que al aplicarle el primero, resulta la identidad. Si ocurre esto al operar en cualquier orden denominamos a dicho elemento el inverso del otro, de nuevo porque solo hay uno para cada elemento.

Además de estas propiedades necesitamos tener la clásica asociatividad, que intuitivamente es lo que nos permite organizar la manera de operar una larga lista de elementos:

Reflexionando un poco obtenemos los requisitos que necesitamos para obtener lo que en matemáticas llamamos Grupo Diédrico de orden 8, $D_{8}$ (en este caso), 8 por todos los posibles movimientos que podemos hacer con el cuadrado.

Apreciamos entonces una idea muy potente a la vez que práctica, ya no importa cuantos vértices (donde teníamos los colores o casas) tengamos, siempre tardaremos como mucho unos minutos en pensar y dibujar unos movimientos que de otra manera habríamos tardado horas y horas en re presentar. Sí, es cierto que cuantos más vértices tengamos, más rotaciones debemos hacer hasta llegar al dibujo original, pero con las simetrías únicamente nos hará falta hacerlas dos veces. Y como solo necesitamos escoger una, ¡mejor que mejor!

Y después de todo, ya que hemos mencionado la clásica asociatividad, ¿qué sucede con la igual de clásica conmutatividad? Si el mundo fuera justo, se debe cumplir, como nos enseñan en la primaria que $x \cdot y = y \cdot x$. Veamos qué ocurre con otro ejemplo:

Tomando (Rotar tres veces) y (Simetría eje horizontal), debe cumplirse: (Rotar tres veces) · (Simetría eje horizontal) = (Simetría eje horizontal) · (Rotar tres veces).

Contraejemplo de conmutatividad.

¡Resulta que no se cumple! En este ejemplo, no hay conmutatividad, esta operación resulta no ser conmutativa. Este hecho hace que la teoría de grupos en matemáticas se divida ya desde un comienzo en dos bandos muy básicos, con teoremas y resultados igualmente importantes, pero eso es harina de otro costal.

Es así como se hace palpable una relación muy importante entre dos áreas elementales de las matemáticas, la geometría y el álgebra. Podemos estudiar propiedades de algo que puede parecer tan abstracto como un “polígono” (yo no me cruzo a muchos de ellos por la calle) a través del lenguaje de las matemáticas.

Vuelta a la pregunta inicial, ¿dónde se hace esto presente en la vida real? Qué te parece si observamos detenidamente los siguientes logos:

Logotipos de las marcas de automóviles Chrysler y Mercedes Benz.

Así es, en el arte la simetría es importante y hasta resulta una manera atractiva y fácil de recordar una marca. Algunos hasta dicen que transmite sensaciones de paz, etc.

-Pfff sí, vale, ya, pero eso podría hacerlo sin saber un pimiento de geometría…

-De acuerdo, veamos entonces en qué más ámbitos puede ser útil…

Más allá, estas reflexiones (simetrías) y rotaciones forman la base sobre la que se cimentan los modelos para los orbitales en química, y si somos osados, podríamos explicar por qué el agua ocupa más en estado sólido que en líquido. Es decir, deducimos propiedades físicas o químicas de un patrón geométrico. Observemos la molécula de amoníaco (NH3). A diferencia de nuestro parchís encontramos el grupo diédrico $D_{6}$, que corresponde a las rotaciones y simetrías de un triángulo.

Molécula piramidal con grupo diédrico $D_{6}$

¿Qué ocurriría si esto lo aplicamos a la cristalografía? La cristalografía estudia entre otras cosas, cuerpos rígidos donde las partículas se organizan de forma tridimensional. Pero al ser este estudio complejo, se realiza a través de proyecciones en dos dimensiones. En muchos casos, esos patrones presen tan la forma de un diédrico de orden 12 o de un diédrico de orden 8, como en el de la sal, curiosamente apareciendo nuestro cuadrado.

La difracción de rayos X en ciertos cristales revela patrones correspondientes a nuestro grupo $D_{8}$.

Finalmente, y siendo osados de nuevo, podríamos asumir que si a partir de aquí podemos deducir ciertas propiedades de la sal, entonces estaríamos en tesitura de afirmar que el álgebra abstracta nos ha salvado de un ataque al corazón. Luego sí, evidentemente prácticamente todo lo que descubrimos, inventamos o estudiamos, entre ello el álgebra abstracta, tiene un sentido; aunque en ocasiones pase desapercibido de la vista de las personas menos observadoras.

Orbitales en química.