El Problema de Regiomontano

Estás hecho un lío. Resulta que tu tío, que sabe que te gustan las matemáticas, es director de una galería de arte y te ha pedido ayuda para resolver un problema. Él quiere, dadas las alturas de un cuadro que ha colgado en lo alto de la entrada de la galería, hallar la distancia de la pared a la que se deben colocar sus clientes para apreciar mejor el cuadro. Esto se traduce en encontrar el punto donde el campo de visión es mayor. Obviamente, si uno se acerca mucho al cuadro dejará de verlo con nitidez. Igual que si se aleja mucho: no podrá distinguir los detalles del mismo. En ambos casos el campo de visión es muy pequeño. Así que, intuitivamente, debe haber un punto intermedio donde se vea el cuadro de la mejor manera posible; es decir, que maximice el campo de visión.

¿Cuál será este punto? Este no es más que un famoso problema de optimización que ya propuso en el siglo XV el matemático y astrónomo alemán Johannes Müller von Königsberg, conocido como Regiomontano (traducción del gentilicio de su ciudad natal, Königsberg, que significa Montaña del Rey en alemán). A uno en cuanto oye la palabra optimización, se le enciende una bombilla: ¡a derivar! Pero claro, el cálculo no se desarrolló hasta dos siglos después, con las investigaciones de Newton y Leibniz. Entonces, ¿cómo resolvió este problema Regiomontano? Aquí vamos a intentar dar una posible solución que podría haber propuesto Regiomontano con los conocimientos que poseía. Pero antes necesitamos presentar varios preliminares, que seguramente tú conozcas y que ya se sabían de sobra en la época en que vivió Regiomontano.

1. El planteamiento

Planteamiento del problema.

Estarás de acuerdo en que este es un problema de ángulos. Vamos a plantearlo más rigurosamente, para ver que esto es cierto. Supongamos que $a > b > 0$ son, respectivamente, las alturas desde el nivel de vista de una persona (digamos un posible cliente de la galería) a la parte superior e inferior del cuadro, como se aprecia en la imagen superior. Si llamamos $\alpha$ y $\beta$ a los ángulos formados por los bordes superior e inferior del cuadro desde el punto de vista del cliente, respectivamente, entonces necesitamos hallar $x$ tal que $\alpha - \beta$ sea lo mayor posible. Pero como, claramente, $\alpha − \beta \in (0, \frac{\pi}{2})$ y la tangente es creciente en ese intervalo, esto es lo mismo que buscar $x$ tal que $\tg(\alpha − \beta)$ sea lo mayor posible; lo que, a su vez, equivale a buscar $x$ tal que $\cotg(\alpha − \beta)$ sea mínima.

Visualización del problema

Por lo que necesitamos una manera de escribir en términos de $a$, $b$ y $x$ la expresión $\cotg(\alpha − \beta)$. Para esto, nos van a ser muy útiles las archiconocidas fórmulas trigonométricas de la suma de ángulos.

En el s. XV, al no conocer las reglas del cálculo, se debía hacer uso de ciertas herramientas para resolver los problemas de minimizar o maximizar una cantidad. De entre estas, las desigualdades eran de gran utilidad, ya que permiten afirmar cuándo una cantidad es mayor o menor que otra. En particular, saber caracterizar los casos de igualdad en una desigualdad era de vital importancia, pues esto permitía saber cuándo se tiene un máximo o un mínimo. Es muy probable que Regiomontano utilizara para resolver este problema una de las desigualdades más conocidas, y que descubrirás si sigues leyendo.

2. Primer preliminar: la tangente de la resta de dos ángulos

Intentemos dar respuesta al primer interrogante que nos surge. Para ello veremos que

Pero nos damos cuenta de que si conseguimos probar que $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, entonces podemos deducir lo siguiente:

1. $$\sin(\alpha − \beta) = \sin \alpha \cos \beta − \cos \alpha \sin \beta$$
2. $$\cos(\alpha + \beta) = \sin(\frac{\pi}{2} − (\alpha + \beta)) = \\ \sin((\frac{\pi}{2} − \alpha) − \beta) = \\ \sin(\frac{\pi}{2} − \alpha) \cos \beta − \cos(\frac{\pi}{2} − \alpha) \sin \beta = \\ \cos \alpha \cos \beta − \sin \alpha \sin \beta$$
3. $$\cos(\alpha − \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$
4. $$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\sin{\alpha - \beta}}{\cos(\alpha - \beta)} = \\ \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta} \cdot \frac{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}} = \\ \frac{\tg(\alpha) - \tg(\beta)}{\tg(\alpha)\tg(\beta)}$$

Así pues, solo nos queda ver que $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. Para ello construimos el siguiente diagrama. Trazamos tres semirrectas desde $O$: $u$, $v$ y $w$; de manera que $∧(u, v) = \alpha$ (es decir, el ángulo entre $u$ y $v$ es $\alpha$) y $∧(v, w) = \beta$. Truncamos $w$ en el punto $A$ para que el segmento $OA$ tenga longitud $1$ (escribiremos $l(OA) = 1$).

Construimos ahora la semicircunferencia $C$ de diámetro $OA$ y llamamos $B$ al punto donde se encuentran $C$ y $v$. En ese caso, tenemos que el triángulo $OAB$ es rectángulo. Y, claramente, $l(OB) = \cos \beta$ y $l(AB) = \sin \beta$. Sean $D$ y $E$ las proyecciones ortogonales de $B$ y $A$, respectivamente, sobre $u$. Entonces los triángulos $OBD$ y $OAE$ vuelven a ser rectángulos. De hecho, $l(AE) = \sin(\alpha + \beta)$, que es lo que buscamos.

Sea, por último, $F$ la proyección ortogonal de $A$ sobre la recta que pasa por los puntos $B$ y $D$. De nuevo, el triángulo $AFB$ es rectángulo y, además, semejante a $OBD$, ya que todos sus ángulos son iguales. En particular, es fácil ver que $∠AFB = \alpha$.

Llamamos ahora $q = l(BF)$ y $r = l(DB)$ y observamos que $l(AE) = r + q$. Entonces, por un lado, $\cos \alpha = \frac{q}{\sin \beta} \Rightarrow q = \cos \alpha \sin \beta$ y, por otro, $\sin \alpha = \frac{r}{\cos \beta} \Rightarrow r = \sin \alpha \cos \beta$. Así concluimos que $\sin(\alpha + \beta) = l(AE) = r + q = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

3. Segundo preliminar: la desigualdad de las medias

Nos gustaría ver aquí que para $a \geq b > 0$ se tiene $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$; es decir, la media geométrica es menor o igual que la aritmética. Esta es la famosa desigualdad de las medias, que seguramente le resultó de gran utilidad a Regiomontano, y también nos servirá a nosotros. Esta desigualdad se puede justificar fácilmente elevando al cuadrado y operando algebraicamente, pero es más interesante realizar una construcción geométrica que nos va a permitir demostrar algo más:

Es decir, Media Armónica $\leq$ Media Geométrica $\leq$ Media Aritmética $\leq$ Media Cuadrática. Vamos a ello.

Construimos un segmento $PM$ de longitud $a$, y hallamos un punto $Q$ en el segmento tal que $l(QM) = b$. Construimos ahora una circunferencia $C$ con diámetro $PQ$. Denotamos por $A$ al centro de esta circunferencia. Una vez hecho esto, trazamos la tangente a $C$ desde $M$, y llamamos $G$ al punto superior de tangencia. Trazamos la perpendicular inferior a $PM$ que pasa por $A$ y llamamos $R$ al punto donde se encuentran esta perpendicular y $C$. Construimos los segmentos $RM$ y $AR$. Ahora, trazamos la altura sobre la base $AM$ del triángulo $AGM$ y llamamos $H$ al punto donde se encuentran el segmento $AM$ y la altura. Por último trazamos los segmentos $GH$ y $AG$.

En este caso, tenemos que $l(PQ) = l(PM) − l(QM) = a−b$, por lo tanto, al ser $AG$ un radio de $C$, $l(AG) = \frac{a−b}{2}$. Y entonces

Por otro lado, por el Teorema de Pitágoras para el triángulo $AGM$,

También por el Teorema de Pitágoras pero para el triángulo $AMR$,

Ahora, dado que los triángulos $HGM$ y $AGM$ son semejantes (se puede comprobar que los ángulos de dichos triángulos son iguales), obtenemos

Así, observando las longitudes de los segmentos del diagrama, tenemos que, efectivamente

Además, aquí podemos ver que $\sqrt{ab} = \frac{a+b}{2} \Leftrightarrow l(GM) = l(AM)$, pero $AGM$ es un triángulo rectángulo donde $AM$ es la hipotenusa, por lo que $l(GM) < l(AM)$ a no ser que el triángulo sea degenerado, es decir, que el ángulo $∠AMG = 0$, luego $G = A$. Pero si esto sucede, el radio de $C$ será nulo, lo que implica que $P = Q \Leftrightarrow l(PM) = l(QM) \Leftrightarrow a = b$. De esta forma, $\sqrt{ab} = \frac{a+b}{2} \Leftrightarrow a=b$.

4. Solución al problema de Regiomontano

Una vez conocidas estas herramientas, podemos enfrentarnos a la resolución del problema. Recordemos que, como se observa en la primera imagen, $a > b > 0$ son, respectivamente, las alturas desde el nivel de vista de una persona a la parte superior e inferior del cuadro. Además, llamábamos $\alpha$ y $\beta$ a los ángulos formados por los bordes superior e inferior del cuadro desde el punto de vista del cliente, respectivamente, y nos proponíamos hallar $x$ tal que $\alpha - \beta$ sea lo mayor posible. Además, habíamos visto que como $\alpha - \beta \in (0, \frac{\pi}{2})$ y la tangente es creciente en ese intervalo, esto es lo mismo que buscar $x$ tal que $\tg(\alpha − \beta)$ sea lo mayor posible; lo que, a su vez, equivale a buscar x tal que $\cotg(\alpha − \beta)$ sea mínima.

Pero nosotros sabemos ya que

Asıí, buscamos $x$ para que $\frac{ab}{x(a-b)} + \frac{x}{a-b}$ sea lo menor posible.

Ahora necesitamos una manera de acotar por abajo esta cantidad. Para ello, emplearemos la desigualdad
entre las medias aritmética y geométrica, que nos dice que

De hecho, como sabemos cuándo se da la igualdad en la desigualdad de las medias: el mínimo de $\frac{ab}{x(a-b)} + \frac{x}{a-b}$ es $\frac{2}{a-b} \sqrt{ab}$ y se alcanza cuando

Por lo tanto, le diremos al cliente que se sitúe a una distancia $\sqrt{ab}$ de la pared para que pueda admirar lo mejor posible el cuadro. Es curioso darse cuenta de que esta distancia depende de lo alto que sea el cliente. En efecto, si un niño pequeño llega a la galería, como tanto a como b son muy grandes (al ser el niño pequeño), se deberá situar muy alejado del cuadro. Puede que entonces tu tío deba plantearse la opción de situar unos prismáticos a cierta distancia del cuadro para los niños pequeños.

Aquí hemos contemplado el caso en que $b > 0$; es decir, el cuadro está colgado lo suficientemente alto como para que cualquier persona que mire el cuadro sea más baja que el borde inferior del cuadro. Por lo tanto, queda contemplar el caso $a \geq 0 \geq b$. Puedes comprobar que, en ese caso, para maximizar el campo de visión, te debes colocar tocando el cuadro con la nariz. ¿Te situarías verdaderamente en dicho punto para admirar mejor el cuadro? Quizás deberías tener en cuenta la nitidez con la que ves el cuadro dependiendo del punto en el que estés, e intentar maximizar esta magnitud junto con el ángulo de visión. Lo mismo ocurre cuando $b > 0$ pero $b \approx 0$, por lo que también podría ser interesante añadir el ingrediente de la nitidez en el caso que hemos estudiado.

Retrato de Regiomontano.