¿Son las Matemáticas un Acto de Fe? Los Teoremas de Incompletitud y el Corazón de las Matemáticas

En el corazón de cada matemático hay una verdad incómoda que intenta olvidar: todo su trabajo es un acto de fe. No sabe si aquello a lo que ha dedicado su vida es verdad; y lo peor de todo es que nunca lo podrá saber. Pero ¿qué significa que algo sea verdadero? ¿Es equivalente a decir que se puede demostrar? Y si es así, ¿qué es una demostración? Son conceptos que usamos a diario pero rara vez pensamos fríamente en qué significan. Por ejemplo, ¿es la siguiente frase verdadera?: “Esta frase es mentira”. Después de un rato pensando en círculo, llegamos a la conclusión de que es verdadera si y sólo si es mentira, ¡contradicción! Este aparentemente inocuo ejemplo encierra uno de los conceptos más problemáticos para matemáticos y lógicos: la autorreferencia. Más adelante, veremos cómo podemos traducir esta idea en un agujero insalvable en el corazón de las matemáticas, la teoría de números. Pero antes, veamos cómo se llegó hasta aquí.

En 1874, el matemático alemán George Cantor publicó un artículo que creó un nuevo paradigma en las matemáticas: la teoría de conjuntos. Con su argumento de la diagonal, demostró que había más números reales que números naturales y, por lo tanto, que existían infinitos más “grandes” que otros. Esta idea dividió a los matemáticos de la época. Por un lado, estaban los intuicionistas, que creían que el trabajo de Cantor era un sinsentido. Para ellos, las matemáticas no eran más que una creación de la mente humana y, por ende, los distintos infinitos de Cantor no eran reales. Por otro lado, estaban los formalistas, aquellos que creían que las matemáticas se podían deducir de un conjunto de axiomas y reglas lógicas. Pero ¿qué es un axioma? Se trata de un enunciado tan intuitivo que se toma por verdadero aún sin ser demostrado y que sirve como base para el resto de los teoremas. Por ejemplo, el axioma de tercero excluido: o P o no P, es decir, una proposición es o bien verdadera, o bien falsa, no hay una tercera opción.

En 1901, los formalistas recibieron un duro golpe por culpa de la ambigüedad en la definición de conjunto. Dado que un conjunto puede contener cualquier cosa, también se puede contener a sí mismo, lo que vuelve a causar un problema de autorreferencia. ¿Se contiene a sí mismo el conjunto que contiene todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos? Esta paradoja fue formulada por Bertrand Russel, quien tendrá un papel determinante en esta historia. Sin embargo, los formalistas consiguieron solventar dicho problema restringiendo y jerarquizando los conjuntos. De esta forma, dichos conjuntos tan generales dejaron de serlo, salvándose de la paradoja.

Antes de continuar con nuestra historia, detengámonos un momento para introducir los siguientes conceptos: sistema formal, completitud y coherencia. Un sistema formal está compuesto por un conjunto de símbolos, un conjunto de axiomas y ciertas reglas de inferencia que sirven para derivar teoremas a partir de los axiomas. Daremos como ejemplo el sistema mg formulado por Douglas Hofstadter en su célebre libro Gödel, Escher, Bach.

Este sistema se compone de tres símbolos: {m, g, -}. Si x es un conjunto con un número cualquiera de guiones, entonces la cadena xm-gx- es un axioma. De esta forma, quedan completamente caracterizados todos los axiomas del sistema (en este caso, tenemos un número infinito de ellos, pero en otros sistemas no tiene por qué ser así). La regla de inferencia es la siguiente: supongamos que x, y y z representan cadenas específicas formadas exclusivamente por guiones, y supongamos que se sabe que xmygz es un teorema, entonces xmy-gz- es un teorema. Animamos al lector a que dedique un rato a producir sus propias cadenas y comprobar si son teoremas o no.

Dado que esta parte es siempre omitida, insistiremos algo más en el sistema mg dada la importancia que tiene entender el concepto de sistema formal: partiendo del axioma ---m-g---- podemos llegar, aplicando tres veces la regla de inferencia, al teorema ---m----g------- de la siguiente manera:

1. ---m--g-----
2. ---m---g------
3. ---m----g-------

¿Cómo saber si una cadena es un teorema o un no teorema? En primer lugar, la cadena tiene que estar bien formada, es decir, sólo puede contener símbolos del sistema (en este caso). Así, la cadena -m-j– no es una cadena de mg, ya que j no pertenece al conjunto de símbolos del sistema. Una vez que tenemos claro esto, nos debemos dar cuenta de que la regla de inferencia sólo alarga las cadenas. Así que, para ver si una cadena bien formada es un teorema, bastará con ir hacia atrás en el proceso hasta que no podamos más; entonces, si hemos llegado a un axioma, la cadena de la que partíamos era un teorema, y si no, no. A esto se lo llama procedimiento de decisión. Para asegurarnos de que el lector ha entendido estos conceptos, he aquí un ejercicio: ¿cuáles de las siguientes cadenas son teorema?

1. ----m--g-
2. --m--m-g-----
3. -m-g---
4. -----m--g-------
5. ---g---m------

(Solución: aquellas cadenas cuyo índice pertenece a la sucesión de Fibonacci no son teoremas).

La pregunta ahora es: ¿tienen significado dichos símbolos? Si somos muy puristas, no: el formalismo de un sistema formal recae en que sólo hay símbolos y manipulaciones tipográficas carentes de significado. Sin embargo, como algún perspicaz lector habrá podido notar, el sistema mg tiene un significado implícito: la suma de dos números naturales. Si tomamos el número de guiones como un número, la m como “+” y la g como “=”, entonces vemos claramente cómo el sistema mg es isomorfo a la suma de dos números naturales cualesquiera. Aunque también es cierto que podríamos haberles dado cualquier otro significado a los símbolos como: m = “vaca”, - = “burro” y g = “Madrid”. Entonces, tendríamos un sistema con los mismos teoremas pero mucho más pintorescos.

Un sistema se dice correcto si todos sus teoremas al ser interpretados resultan ciertos y compatibles entre sí. Esto quiere decir que un sistema no expresa verdades por sí mismo, sino que lo hace con respecto a un isomorfismo. El sistema sólo está compuesto por símbolos tipográficos, por lo que no tiene sentido hablar de verdad si no es en base a una interpretación externa al sistema. Por ejemplo, imaginemos que al sistema mg le añadimos otro esquema de axioma: si x es una cadena de guiones, entonces xm-gx es un axioma. Parecería que se nos ha caído el sistema formal porque ahora tenemos teoremas como: -m-g-- y -m-g-, que vendrían a significar: $1+1=2$ y $1+1=1$. ¡Una flagrante falsedad! Pero esto sólo es debido a la interpretación a la que nosotros hemos sometido al sistema. Si ahora cambiamos el significado de “g” por “$≥$”, entonces volvemos a tener un sistema correcto. Sin embargo, el isomorfismo ya no es completo en el sentido de que existen desigualdades verdaderas que el sistema no puede expresar. Por ejemplo, “$1+2≥1$” no se puede traducir a una cadena bien formada del sistema.

Sin embargo, mg (ampliado) sigue siendo completo en el sentido de que toda cadena es un teorema o no lo es; a esto se le llama ser completo (lógicamente hablando). Parecería razonable asumir que todo sistema que se precie ha de ser completo pero, aunque resulte chocante, esto no tiene por qué ser así, hay sistemas en los que no se puede saber si ciertas cadenas cumplen esta condición. Esta es la noción de completitud que realmente nos interesa.

Por otro lado, si queremos un sistema que sea capaz de expresar las verdades matemáticas correctamente, es ineludible incorporar en él el cálculo proposicional, también llamado lógica de orden 0. Se trata de un sistema formal cuyo conjunto esencial de símbolos es {∧, ∨, ⇒, ¬} y al que, tanto matemáticos como lógicos y filósofos, están muy acostumbrados. Los símbolos representan la conjunción, disyunción, implicación y negación respectivamente, y se usan para relacionar proposiciones entre sí. Aparte, tenemos los átomos {𝑃, 𝑃′, 𝑄, …} que simbolizan enunciados cualesquiera; 𝑃 puede ser interpretado tanto como “hoy ha llovido” como “3 es un número primo”. La gracia de implementar la lógica proposicional en otro sistema formal es que los átomos se convierten en las cadenas de dicho sistema, permitiéndonos relacionar cadenas entre sí. La negación (¬) resulta de particular importancia ya que permite definir formalmente el concepto de (in)coherencia, a saber: un sistema es consistente si y sólo si no hay ninguna proposición tal que se puede derivar tanto ella como su negación de los axiomas, es decir, $¬(𝑃  ∧  ¬𝑃)$ es un teorema. Una contradicción en un sistema formal supondría un problema enorme porque, más allá de ir en contra del sentido común, obsérvese en la siguiente derivación las consecuencias desastrosas de aceptar $(𝑃 ∧  ¬𝑃)$ como teorema:

¿Cómo? Hemos llegado a una proposición que no estaba presente de ninguna manera en las premisas, lo que significa que, a partir de una contradicción, ¡podemos derivar cualquier cosa! Esto se denomina principio de explosión y hace al sistema completamente inútil, ya que todas las cadenas se convierten en teoremas. Entonces, un sistema incoherente es automáticamente completo porque toda proposición es demostrable.

Pero volvamos a lo que nos compete. Los formalistas tenían como objetivo convertir todas las matemáticas y la lógica es un sistema formal, en el cual toda proposición matemática pudiese expresarse por medio del sistema y se pudiese saber en un número finito de pasos si era verdadera o falsa. Siguiendo esta línea, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publicaron entre 1910 y 1913 los tres volúmenes de Principia mathematica, en los que intentaron satisfacer dicho objetivo (aunque de forma un tanto engorrosa, todo sea dicho; por ejemplo, demostrar la infinitud de los números primos ocuparía más de mil páginas de escritura). El líder de los formalistas, David Hilbert, planteó en una conferencia las tres siguientes preguntas: ¿son las matemáticas completas?, ¿son las matemáticas consistentes? y ¿son las matemáticas decidibles?, todas ellas basándose en Principia mathematica.

Aquí es donde entra en escena el protagonista de esta obra, Kurt Gödel, que frustraría los sueños de todo formalista con sus Teoremas de Incompletitud. El primero dice lo siguiente: todo sistema formal coherente lo suficientemente potente como para generar la aritmética es incompleto, es decir, tiene proposiciones indemostrables.
La genialidad de la prueba de Gödel se basa en la fusión de dos ideas excepcionalmente ingeniosas: la numeración Gödel y el método diagonal de Cantor. La primera nos ofrece el descubrimiento de que un sistema formal capaz de describir la aritmética de los números naturales puede “hablar de sí mismo”. La segunda idea consiste en circunscribir esta capacidad de autoanálisis en una sola cadena del sistema, de tal manera que hable de su propia demostrabilidad. Sin embargo, para comprender la demostración de Gödel, es necesario adentrarnos en su argumentación.

Primero, asignamos un número natural cualquiera a cada símbolo del sistema formal (siempre y cuando sean distintos y no quepa ambigüedad). Posteriormente, ideamos un método que combine los números de cada símbolo de una cadena para asignarle un número que la identifique de forma única. A este lo llamaremos número de Gödel de la cadena. Por ejemplo, si al “0” le correspondiese el 666 y al “=” el 111, a la cadena “0 = 0” le correspondería el número Gödel 666.111.666. Ahora, como cada cadena tiene su correspondiente número de Gödel, las reglas de inferencia, que sirven para transformar una cadena en otra, equivalen a una operación aritmética que recibe el número Gödel de una y devuelve el número Gödel de la resultante al aplicar la regla. Entonces, la cuestión de si una cadena dada es un teorema dentro del sistema queda reducida a determinar si su número Gödel puede obtenerse a partir de la aplicación recursiva de una serie de operaciones aritméticas (determinado por las reglas de inferencia) a un conjunto de números Gödel iniciales (correspondiente al conjunto de axiomas).

Dicho de otra manera, si denotamos “TNT” al sistema formal (Teoría de Números Tipográfica) y “números TNT” al conjunto de números que se obtienen con la aplicación recursiva de las operaciones aritméticas determinadas por las reglas de inferencia; entonces, una cadena C es un teorema si y sólo si su número de Gödel c es un número TNT. Ahora, podemos ver que “c es un número TNT” es una proposición de teoría de números y, por tanto, se traduce directamente a una cadena en TNT que habla de las propiedades aritméticas de c. Así es como TNT consigue autorreferenciarse.

El siguiente objetivo es construir una cadena que, en esencia, implique su propia negación usando la numeración de Gödel. Para su construcción, son necesarios dos conceptos clave que, en Gödel, Escher, Bach, se denominan pares de prueba y aritmoquinificación. Sin embargo, para entenderlos, es necesario adentrarse en el funcionamiento de TNT mucho más de lo que está al alcance de este artículo. Por lo tanto, asumiremos que existe una cadena, que denotaremos como “G”, en honor a Gödel, tal que niega que g sea un número TNT. Es decir, niega la existencia de una demostración para la cadena cuyo número de Gödel es g. ¿Cuál es el truco? Que g es el número de Gödel de G, por lo tanto, la cadena está negando su propia demostrabilidad.

Nos encontramos ante la misma paradoja del comienzo del artículo y la conclusión es clara: como la contradicción no se puede permitir en un sistema formal por el principio de explosión, ni G ni ¬G son teoremas. Esto quiere decir que existe al menos una proposición matemática que no puede ser demostrada (ni ella, ni su negación) y, por tanto, el sistema es incompleto.

El Primer Teorema de Incompletitud pone a relucir una diferencia sutil pero clave entre un teorema y una proposición verdadera, ya que G podría estar expresando una verdad sin que ello suponga un problema en la consistencia de TNT, pero entonces dicha verdad sería indemostrable dentro del sistema. Por lo tanto, la demostrabilidad es mucho más débil de lo que Hilbert había pensado porque existen proposiciones verdaderas que no pueden ser demostradas. Este teorema es mucho más “vigoroso” de lo que podemos llegar a pensar, porque si sólo existiese una proposición indecidible (que no se puede demostrar su afirmación ni su negación), bastaría con incorporarla al conjunto de axiomas. Pero el Primer Teorema de Incompletitud es como un cáncer que se extiende por todo el sistema, una vez que hayas incorporado dicha proposición como axioma, aparecerán otras que también sean indecidibles. Es decir, nunca podrás tener un sistema completo que caracterice la aritmética.

Puede parecer que estos conceptos no son más que mera formalidad y que en el día a día jamás aparecerá una proposición tan extraña como para que sea indecidible. Nada más lejos de la realidad, observe el lector un ejemplo que ya ha aparecido antes en el artículo: las distintas magnitudes del infinito. Cantor probó que existían más números reales que números naturales y que, por lo tanto, había infinitos más “grandes” que otros. Lo increíble del asunto es que no podemos saber si existe un conjunto con una cardinalidad intermedia entre ellos. Es decir, si denotamos al infinito natural como $\aleph_0$ y al infinito real como $\mathcal c$ no se puede demostrar ni que exista ni que no exista un número transfinito $\aleph_1$ tal que $\aleph_0 < \aleph_1 < \mathcal c$. Se suele referir a este problema con la hipótesis del continuo, que afirma que $\aleph_1 = \mathcal c$.

Hemos empezado esta historia diciendo que las matemáticas son un acto de fe y eso es mucho más fuerte que decir que existen proposiciones que no se pueden demostrar. El Programa de Hilbert proponía que las matemáticas eran completas y coherentes. Ya hemos visto que son incompletas y el enorme problema que causaría una incoherencia, por tanto, cabría esperar la posibilidad de demostrar la coherencia en la aritmética. Sin embargo, probar la coherencia de un sistema se debe hacer en base a un sistema externo, de lo contrario, se llegaría a una demostración circular. Sería como si aceptásemos que los autores de este artículo somos las dos personas más guapas de la UAM porque lo decimos en este artículo, una creencia injustificada (aunque verdadera en este caso). Además, dicho sistema debe de ser “menos potente” que el que intentamos probar porque estaríamos si no matando moscas a cañonazos.

Es aquí donde se derrumba el sueño formalista, con el Segundo Teorema de Incompletitud: si un sistema formal que genere la aritmética es coherente, no es posible probar su coherencia. Esto se debe a que, para demostrar la consistencia de TNT, se debe recurrir a un sistema al menos tan potente como TNT, cayendo en la circularidad mencionada. En palabras de D. Hofstadter: “Las facultades de introspección de TNT son grandes cuando se trata de expresar cosas, pero sumamente débiles cuando se aplican a demostrarlas” (D. Hofstadter, 2022: 502).

Donde se derrumba un sueño, nace una creencia. La creencia en que las matemáticas son consistentes y que, si en algún momento aparece una contradicción, podremos remediarla como antiguamente se hizo con la teoría de conjuntos. Sin embargo, la verdad es que nunca lo podremos saber; este segundo teorema lapida toda certeza que en un pasado se creyó tener sobre las matemáticas, dejándonos desamparados en un mar de incertidumbre. Pero esto pasa por tener demasiada esperanza en un sistema formal. Al fin y al cabo, no es más que un conjunto de símbolos y reglas de manipulación inertes que se tambalea al mirase al espejo y finalmente nos estalla en la cara, como, por otro lado, ya nos estaba avisando su nombre. Sin embargo, las matemáticas están vivas, son un ente en constante desarrollo que escapa al mero formalismo. Es por eso por lo que siguen existiendo hoy en día, ya que, si tomásemos estos resultados al pie de la letra, habrían desaparecido hace tiempo. El agujero en el corazón de las matemáticas nos ha servido para poder comprenderlas. Nadie nos expulsará del paraíso que Gödel ha creado.

Dos formas de ver las matemáticas: el mundo ordenado de David Hilbert (izda.) y el caos de Kurt Gödel (dcha.). Hilbert buscaba establecer un sistema de reglas que permitiera construir las matemáticas desde la raíz, filosofía encapsulada en su famosa frase: Wir mussen wissen, wir werden wissen (Necesitamos saber, sabremos). Para su consternación, Gödel encontró contradicciones en el seno de este objetivo, revelando que hay verdades que no pueden demostrarse, usando argumentos como $G \iff G \notin$ TNT (explicados en este artículo).

Bibliografía

Hofstadter, D. R. (1979). Gödel, Escher, Bach: Un eterno y Grácil Bucle (Usabiaga, M, López A., Trad., Edición de 2022). Booket.

Mosterin, J. (2006), Kurt Gödel: Obras Completas. Alianza Editorial.

Tiles, M. (2004) The philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor’s Paradise. Dover Book on Mathematics.