Tres, Dos, Uno... ¿Cero?

Como si de un clickbait se tratara podría empezar este artículo diciendo que vamos a hablar de “lo que nunca te contaron en clase de historia”, y tiene cierto sentido esta acusación. En el temario de la E.S.O. se dedica un tiempo a estudiar el origen de la escritura y su fascinante influencia en nuestra sociedad actual, dejando de lado otro descubrimiento igual o más importante: el inicio de la numeración. Contar. Tan simple y esencial como eso.

Desde los albores de la raza humana los hombres han tenido de alguna manera la idea de número y han usado diferentes sistemas de signos para representar cantidades. Esto es lo que hoy conocemos como un sistema de numeración o conteo. La necesidad de medir el paso del tiempo y de llevar un registro de las cosechas, el ganado, las transacciones comerciales y las conquistas de guerra fueron los impulsores para el desarrollo de esta idea. Los métodos más antiguos que se conocen se basan en un sistema de numeración unario: para representar un número n, se elige un símbolo arbitrario, que será la única cifra que tenga dicho sistema, y se repite n veces. ¡Qué nombre tan técnico para algo tan natural! En los casos más sencillos esta técnica consistía simplemente en contar con los dedos de las manos. Si la cantidad era demasiado grande entonces se utilizaba algún objeto (por ejemplo, piedras, fichas de arcilla o piezas de cerámica) que se hacía corresponder con el conjunto de objetos que se quería cuantificar. De hecho, solían agruparse en paquetes de cinco o de diez manteniendo en cierta forma el método de los dedos.

Un ejemplo que atestigua el uso de este método en regiones como oriente próximo es el descubrimiento durante unas excavaciones arqueológicas en la región de Nuzi, situada en Irak, de un recipiente de arcilla sobre el que se había inscrito el recuento de unos animales: seis ovejas, ocho carneros, cuatro corderos, etc. Cuando se rompió el sello del recipiente aparecieron en su interior cuarenta y ocho bolitas que se correspondían con los animales de la inscripción. Los arqueólogos, tratando de interpretar el hallazgo, nos ofrecen la siguiente explicación: el dueño había escrito en la bolsa de arcilla, para su propia contabilidad, los animales que dejaba a cargo de algún pastor que posiblemente no sabía leer ni escribir y que, por tanto, llevaba la cuenta asociando una bolita a cada animal. De hecho, se cree que aún hoy puede darse esta situación en algunas tribus de África, Ásia o Sudamérica. Del mismo modo se utilizaron muescas en piedras, madera o hueso. La muestra más antigua, de aproximadamente el 35.000 a.C., es el hueso de Lebombo: un peroné de babuino encontrado en las montañas de Suazilandia, al sur de África, sobre el que hay señaladas veintinueve muescas que se piensa podrían corresponder al número de piezas cazadas usando ese arma. Otro ejemplar es el conocido como hueso de Ishango (zona africana situada cerca del nacimiento del río Nilo); de gran importancia pues se ha llegado a conjeturar que no solo fue utilizado como palo de conteo, sino que refleja un conocimiento matemático que va más allá.

Recipiente de arcilla inscrito encontrado en Nuzi.

Paulatinamente, con el desarrollo de las primeras civilizaciones fueron surgiendo sistemas mucho más sofisticados. Entre otras características, se comenzaron a asignar signos de escritura a los números. En muchos casos, estas nuevas herramientas permitieron elaborar la aritmética y trajeron consigo un significativo avance en las matemáticas. No obstante, cada uno de estos sistemas tuvo sus propias particularidades que lo hace único e interesante. En las próximas líneas viajaremos (espacial y temporalmente) a través de algunas de estas civilizaciones para conocer brevemente cómo contaban.

No solo por su popularidad actual el Antiguo Egipto merece que comencemos por él. Los egipcios tenían dos sistemas de numeración: el jeroglífico que utilizaba, valga la redundancia, jeroglíficos y el hierático que se servía de símbolos cursivos (un antepasado del llamado sistema demótico o del pueblo). En ocasiones también se representaban los números fonéticamente. El sistema jeroglífico es de base diez, aditivo pero no posicional. Dicho de manera más clara: en él existen signos para el uno, diez, cien, …, hasta las seis primera potencias de diez y cada número se expresa como suma de los signos que lo forman. Estos valdrán lo mismo ocupen el lugar que ocupen, pero se solían escribir de derecha a izquierda y de mayor a menor; aunque a veces se hacía en el otro sentido, por razones estéticas, y en este caso los símbolos también se dibujaban en sentido opuesto (como vistos en un espejo).

Sistema de numeración egipcio.

El lenguaje jeroglífico era de difícil ejecución, por lo que se limitaba en su mayoría al ámbito religioso: textos sagrados, ofrendas e invocaciones propias del culto, así como a las paredes de piedra de los templos y tumbas o las estelas. Sin embargo, el uso administrativo común requería una mayor facilidad para realizar escritos. La utilización de papiros permitió un trazado mucho más flexible y cómodo, lo que dio paso a la escritura hierática. Dentro de ella se conformaron símbolos numéricos y un sistema que introducía algunas modificaciones del jeroglífico. Por ejemplo, para designar el cuatro se conserva la repetición de un mismo trazo cuatro veces, pero para el cinco se introduce un nuevo símbolo. Como ventaja, así se eludía el trazado exhaustivo de tantos elementos como cantidades hubiera pero, como defecto, multiplicaba el número de símbolos que el escriba tenía que aprender. Cabe destacar el hecho de que en ninguno de los dos sistemas tenían los egipcios un símbolo para el cero, aunque veremos que este concepto sí existía en otras civilizaciones coetáneas.

Sistema hierático.

Otra notable peculiaridad de los sistemas egipcios de numeración es el uso de las fracciones. Parece que el concepto de fracción como número nunca fue generalizado. Salvo $\frac{2}{3}$ y $\frac{3}{4}$, solo manejaban las unitarias (de la forma $\frac{1}{n}$). Esto hacía que su método para hacer los repartos fuera ciertamente complicado. El indicativo de fracción es representado por el jeroglífico “boca”, que significa parte. Las fracciones se escribían con este operador y el denominador positivo debajo. Existían signos especiales para $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ y $\frac{3}{4}$. El uso de la fracción no unitaria $\frac{2}{3}$ puede ser debido a los cambios de unidades de capacidad: la unidad de volumen habitual era el codo cúbico, pero lo importante era traducir este volumen en cabida de grano. La unidad de capacidad que medía la cantidad de grano era el Khar, siendo un Khar igual a $\frac{2}{3}$ de codo cúbico. Posiblemente la frecuencia de estos cambios dio identidad propia a esta fracción. Algo similar ocurriría con $\frac{3}{4}$.

Ejemplos de fracciones unitarias compuestas del símbolo básico sobre el denominador. Nótese que vemos dos formas especulares del signo "cien". Como hemos comentado, esto se debe a que los textos de donde se hubieran extraído estos fragmentos están escritos en sentidos opuestos.

Símbolos especiales para ciertas fracciones.

Asimismo, los egipcios crearon unidades para las subdivisiones del Khar de forma que fueran fácilmente operables después. Así se constituyen las fracciones del tipo $\frac{1}{2^{n}}$ ($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$,…, $\frac{1}{64}$), que tuvieron siempre un carácter místico para los egipcios. Tanto es así que les asignaron representaciones jeroglíficas especiales con la particularidad de poder reunirse de un modo determinado para formar en conjunto la representación del llamado «Ojo de Horus». Horus, hijo de Osiris e Isis, desafió a su tío Seth para vengar la muerte de su padre a manos de éste. Durante la pelea Seth le arrancó un ojo a Horus, lo cortó en seis pedazos y lo esparció por todo Egipto. Según se relata en el Libro de los Muertos, los dioses le encargaron a Toth, maestro supremo de la aritmética, la palabra, la escritura y los escribas, reunir las partes y reconstruir con ellas el ojo completo. Así lo hizo y formó el Oudja, ojo humano y de halcón que fue considerado símbolo de la integridad física, el conocimiento, la visión total y la fertilidad. En mi opinión, un símbolo nada trivial para representar fracciones.

El Ojo de Horus y su representación con símbolos de fracciones.

Afortunadamente, hasta nuestros días han llegado abundantes vestigios del Antiguo Egipto que nos han permitido conocer estos sistemas.

Posiblemente el más antiguo testimonio numérico de la historia egipcia sea la maza del rey Narmer. Este soberano, que unificó el Alto y Bajo Egipto hacia el año 2900a.C., hizo grabar en su maza representaciones numéricas del botín conseguido en sus victoriosas expediciones. En la imagen aparecen algunos animales con símbolos numéricos bajo ellos, nada más y nada menos que las cantidades conseguidas de cada uno. Así mismo, se ve la figura de un prisionero y, bajo él, el recuento de los aprisionados.

Representación del grabado en la maza del rey Narmer.

Viajando hacia el Este nos encontramos con otra de las grandes civilizaciones del mundo antiguo a destacar, la mesopotámica. Esta civilización estaba ubicada en Asia Menor entre las laderas de los ríos Tigris y Éufrates en la región que ocupan los actuales Irak y Egipto. El nivel de sus matemáticas fue superior a cualquier otro de la antigüedad, salvo al de los griegos, los cuales a su vez crearon su matemática partiendo de los conocimientos sumerios. Sin duda uno de los factores que provocaron esta supremacía fue el uso de un sistema de numeración muy completo en escritura cuneiforme. Sexagesimal (es decir, de base sesenta) y aditivo, era también el primer sistema posicional: el valor de los símbolos empleados dependía de la posición que ocupaban dentro del número. Esta característica, a la que estamos tan habituados, marcó una notable diferencia con respecto a otros sistemas coetáneos.

El origen del sistema de base sesenta proviene de dar ordenadamente un número a cada falange de los dedos índice hasta meñique (un total de doce), mientras que el pulgar se usaba para ir señalándolas cuando se contaba. Con la otra mano se llevaba la cuenta de las docenas, hasta cinco de ellas, haciendo un total de sesenta. Este primitivo método junto con la cantidad considerable de divisores que tiene sesenta (para superarlo hay que ir hasta ciento cuarenta y cuatro, un número mucho mayor), fueron posiblemente causas de que se adoptara en el pueblo sumerio, acadio y babilónico (entre otros) el sistema sexagesimal. Un hecho curioso: este método tiene un sistema decimal interno, por lo que más apropiadamente se considera un sistema mixto de bases diez y sesenta. Esto permitía denotar los primeros cincuenta y nueve números con solo dos símbolos utilizados en una amplia variedad de combinaciones.

Sistema babilónico.

Este pueblo también introdujo un elemento esencial en el conteo: el cero. En un primer momento, cada signo pasaba a un orden superior (con un valor sesenta veces mayor) dejando un espacio en blanco que lo separara del grupo inicial formado por los mismos signos. Como cabría esperar, esta costumbre daba lugar a gran número de problemas. ¿Cómo de grande tenía que ser la separación? ¿Cómo diferenciamos si hay un salto de orden o más? ¿Y si coincide con un salto de línea? Para evitar estas confusiones se introdujo el uso del símbolo del 1 inclinado para señalar que faltaba la cifra de un determinado orden. Esto era algo equivalente al uso de nuestro cero en sistemas posicionales, como al escribir 101 y no 11. Sin embargo, los sumerios no lo entendieron como un “número cero” propiamente hablando, pues nunca ha aparecido en posición terminal de un número. Para ello todavía nos tocaría esperar unos siglos, aunque quizás no tanto como podríamos pensar.

En el otro extremo del mundo, en la América Central todavía sin descubrir, durante el primer milenio de la era cristiana algunas civilizaciones mesoamericanas utilizaron sistemas de numeración vigesimales (esto es, de base veinte), destacando el utilizado por el pueblo maya: un sistema compuesto por rayas y puntos.

En este sistema, la unidad se presenta por un punto. Dos, tres y cuatro puntos sirven para representar los números dos, tres y cuatro, y una raya horizontal sirve para indicar el cinco. El punto, por tanto, no se repite más de cuatro veces. Si se necesitan cinco puntos entonces se sustituyen por una raya, la cual no aparece más de tres veces seguidas. Si estuviera en la necesidad de escribir cuatro rayas, entonces quiere decir que quiero un número igual o mayor a veinte, y para eso emplearía otro nivel de mayor orden. Recordemos que es un sistema posicional, por lo que el valor de un símbolo depende de su posición.

Se escribía en forma vertical, de abajo hacia arriba, con una columna que tenía tantos pisos como órdenes de unidades y siguiendo las premisas del primer piso en todos ellos. De este modo en el segundo orden cada punto vale veinte unidades y cada raya, cien. Sin embargo, el tercer piso no indica un valor veinte veces superior al del segundo como cabría esperar, sino 18 veces. Es decir, cada punto vale trescientas sesenta unidades. ¿A qué podría deberse esta irregularidad? ¡Con lo que le ha gustado siempre al ser humano la simetría!

Ejemplos de uso del sistema maya. Destaca la irregularidad del tercer piso, ¿a qué se debe?

Esta particularidad tiene que ver con los años mayas (o tunes). Los mayas contaban el tiempo en ciertas unidades que básicamente se establecían en días, meses de veinte días y años de trescientos sesenta días, el múltiplo de veinte más cercano a trescientos sesenta y cinco. Debido a que la matemática estaba al servicio de la astronomía y del cálculo del tiempo, los sacerdotes adoptaron esta prioridad modificando el valor del tercer piso como hemos indicado. Si bien es cierto que cuando se utilizaba la matemática para otros fines se omitía esta irregularidad, esto era lo menos habitual. En cualquier caso, para los pisos superiores se retornaba a la utilización estricta de la base veinte, valiendo cada piso veinte veces más que el anterior.

¿Y qué pasa con el cero? Al igual que ocurría con la civilización mesopotámica, encontramos grabados que indican la utilización del cero por los mayas. El signo correspondiente se asemejaba a una concha, caracol o semilla de café (aunque en otras ocasiones se puede ver como una media cruz de malta, una mano bajo una espiral o una cara cubierta por una mano), y sirvió, en sus aplicaciones más tempranas, como notación posicional, en el caso de que faltasen cifras de algún orden. Posteriormente, se convirtió en un número que se podía utilizar para cálculos. ¡Voilá! Aunque de manera sutil, por fin disponemos de nuestro particular y poderoso número cero.

Representación del número utilizado para el cero.

Este sistema de numeración resultaba entonces claro, con representaciones sencillas que no dejaban lugar a dudas y muy potente, entendido este como que permitía (a pesar de la peculiaridad de su "tercer piso) hacer cálculos muy precisos. Sin embargo, no fue la única manera de contar que tuvieron los mayas. De forma paralela utilizaron números cefalomorfos (con forma de cabeza, por raro que suene). Esta numeración estaba prácticamente restringida a las inscripciones por su complejidad. Cada uno de los números del cero al trece tiene un tipo distinto de cabeza con su propia característica esencial que, en teoría, lo distingue de todos los demás. En la práctica, dejaremos que sea el lector el que decida por sí mismo tras observalos a continuación. Los estilos del trece al diecinueve coinciden con los estilos de cabeza del tres al nueve pero con la mandíbula descarnada en honor al dios de la muerte. Muchos de estos números cefalomorfos tan curiosos encontrados se relacionan con los glifos de periodos calendáricos. Sin duda, un modelo menos práctico pero más impactante.

Representación de los números cefalomorfos.

Otro sistema de numeración indudablemente adelantado y que podría haber sido germen de nuestro actual sistema (de no pertenecer a un pueblo que ha permanecido aislado durante siglos) es el de la civilización china. Se trata de un sistema decimal, con signos del uno al nueve representados por barras verticales y horizontales, de donde recibe el nombre de “numeración con varillas”, y también posicional. Por esta última propiedad nace la necesidad de un cero, que se representaba al principio dejando tan solo un espacio en blanco y, siglos más tarde, probablemente influenciados por la matemática hindú, por un pequeño círculo.

Ejemplos sencillos de numeración con varillas.

Una de sus peculiaridades es que, para evitar confusiones, las unidades de rango impar (unidades, centenas, decenas de millar,…) se expresaban mediante cifras “verticales” mientras que las de rango par (decenas, millares,…) se representaban con cifras “horizontales”. En la imagen de la siguiente página podemos ver el triángulo de Yang Hui, matemático chino, representado por Zhu Shijie en 1303 utilizando numeración con varillas. Quizás nos recuerde al trabajo de Pascal, aunque presenta algunas particularidades e incluso un “error”. ¿Crees que podrías encontrarlo?

Primer diseño del triángulo de Hui por Zhu Shijie.

Cambiando de tercio podemos considerar otra clase de sistemas de numeración: aquellos conocidos como no posicionales. En concreto, hay uno que se nos puede venir a la cabeza rápidamente, aunque quizás nunca te lo hayas planteado así. ¿Se te ocurre cuál puede ser? Se trata de la numeración romana. Este sistema que nos enseñaron en el colegio se desarrolló en el Imperio romano y pervivió durante toda la Edad Media, hasta el punto de que se sigue utilizando a día de hoy en algunos ámbitos. Si tratamos de visualizar la famosa torre del Big Ben, en Londres, aparecerá en primer plano su gran reloj. ¿Cómo son los números que destacan en su esfera? Efectivamente, algunos relojes analógicos se fabrican utilizando números romanos. Este es el ejemplo más extendido del uso de esta numeración en nuestra era, aunque también suele aparecer cuando notamos siglos e incluso años. ¿No es sorprendente la fuerte presencia de este arcaico sistema en nuestros días? Quizás deberíamos atribuirla a la tendencia occidental de preservar las tradiciones, aun sin mayor ventaja. ¿Acaso no se siguen celebrando misas en latín, o se nombra a papas y reyes con esta numeración? O quizás a la comodidad de disponer de dos sistemas de numeración diferentes. Pensemos en un libro de texto, donde las páginas previas al cuerpo se numeran con el sistema romano. Del mismo modo, al hacer listas encadenadas se suelen combinar números arábigos (1,2, . . . ), letras (a,b, . . . o A,B, . . . ) y números romanos (I,II, . . . o, de manera excepcional, en minúscula, i, ii, iii, . . . conocidos popularmente como “romanitos”). Aunque los motivos sean más difíciles de esclarecer, es innegable la importancia de este sistema en pleno siglo XXI.

Tan solo hagamos un breve repaso. El sistema emplea siete letras mayúsculas diferentes como símbolos para representar ciertos valores: uno, cinco, diez, cincuenta, cien, quinientos y mil. Estos símbolos se repiten para formar números mayores (esencialmente, es aditivo) con la particularidad de que algunas cifras como el cuatro, nueve, cuarenta, noventa… se escriben de una única manera usando notación sustractiva. De este modo se evita la escritura mucho más farragosa que resultaría de repetir cuatro veces un símbolo. Bien es cierto que se pueden encontrar excepciones a esta regla. Es más, te aseguro que todos los años la mayoría de españoles ven al menos una vez el número cuatro escrito con cuatro “palitos”. Si no me crees, ¿por qué no echas un vistazo a otro famoso reloj situado en el centro de Madrid?

Sistema de numeración romano.

En esta forma estándar el mayor número que se puede representar es 3.999 pero a lo largo de los años se fueron introduciendo numerosas variaciones del sistema entre las cuales podemos encontrar reglas para escribir números mayores (así como para representar fracciones o el número cero o nulla). Quizás el más conocido sea el método vinculum, en el que cada numeral es multiplicado por mil añadiendo una pequeña línea encima. Por ejemplo, cuatro mil se escribiría como $\overline{IV}$. Pero esta no es la única opción. Otra extensión menos común, conocida como Apostrophus, pasa por escribir los números quinientos y mil como IↃ y CIↃ , respectivamente. Si vemos los C y Ↄ como paréntesis, es como si estuviéramos “revistiendo” los números para indicar los miles. De este modo, añadiendo pares adicionales de “paréntesis” alrededor podemos aumentar el valor por una potencia de diez. Así, por ejemplo, CCI ↃↃ valdría 10.000 y IↃↃↃ , 50.000.

Todo el sistema de numeración romano tiene su origen en el etrusco, no mencionado hasta ahora ya que sería imposible incluir en este resumen todos los sistemas clásicos conocidos. Invito encarecidamente al lector interesado a que investigue acerca de este y otros sistemas que se nos hayan quedado en el tintero. Sin duda descubrirá algunas curiosidades que recompensen la búsqueda. Le recomiendo comenzar por los posts llamados “Cuéntame cómo cuento” del blog “El mundo de Rafalillo”, el artículo “Sistemas de numeración de la América Prehispánica. Su presencia en los libros de texto en Argentina” de Mónica Lorena Micelli o el vídeo “Threads That Speak: How The Inca Used Strings to Communicate” de National Geographic, donde descubrirá los impresionantes quipus incas.

Por nuestra parte y para finalizar, nos centraremos en el sistema de numeración más habitual hoy en día. El sistema decimal que se utiliza actualmente, posicional de diez dígitos, fue inventado en la India alrededor del siglo VI, aunque entonces contaba solo con nueve signos pues la primera referencia al cero data de un documento del año 876. Sus orígenes son poco claros y no parece tratarse de un descubrimiento aislado sino de una sistematización gradual de las influencias asirias y griegas (otras dos civilizaciones cuyos sistemas de conteo invito al lector a conocer).

Los numerales indios en los que al parecer los árabes inspiraron los suyos no difieren mucho de los que hoy en día conocemos. Curiosamente, el signo correspondiente al cero no fue adoptado de forma general por los árabes y solo a partir del siglo XIII se extendió su uso por Europa (muchos años después de hacer su primera aparición en otras civilizaciones, como hemos comentado antes). Además, la adopción de estos numerales fue distinta entre los árabes del Este y del Oeste, y es de estos últimos de los que descienden los llegados a Europa. Su implantación en nuestro continente sufrió también diversas modificaciones hasta finales del siglo XV, momento en que los numerales se corresponden ya prácticamente con los actuales.

Por orden, numeración india posteriormente heredada por el pueblo árabe, numeración adoptada por los árabes del oeste y numerales europeos en el siglo XV.

La primera prueba de utilización del sistema decimal en Occidente se encuentra en un manuscrito español del año 992, copia de una obra sobre aritmética que data del siglo VII. Uno de los grandes partidarios del uso de este sistema fue el primer papa francés, Silvestre II. De nombre secular Gerberto de Aurillac, fue también un reconocido teólogo, filósofo y matemático. Aprendió el sistema indo-arábigo cuando entró en contacto con la cultura árabe en los años que fue educado en Barcelona e introdujo en Francia el sistema decimal islámico y el uso del cero. Se sirvió de su cargo de papa para hacer que se utilizara el sistema decimal por parte de los clérigos occidentales, lo que facilitó enormemente el cálculo, ya que hacia el año mil, la práctica de la división, sin usar el cero, requería unos conocimientos que solo poseían los eruditos. Además, inventó un tipo de ábaco: el ábaco de Gerberto, que permitía multiplicar y dividir rápidamente. También se le atribuye la introducción del péndulo, la invención de un reloj de ruedas dentadas y el diseño de una especie de sistema taquigráfico, un lenguaje secreto o en clave (que hoy consideraríamos como una especie de criptografía). Todos estos avances, llevaron al llamado Papa del Año 1000 a ser acusado de tener un pacto con el diablo y de inspirarse en obras de autores herejes. Se sostiene que este sabio medieval era un esotérico que se nutrió de conocimientos arcanos como el sufismo, la astrología, matemáticas, música, filosofía, alquimia,… hicieron de este personaje una figura mítica y célebre en todo el mundo conocido de entonces.

Aunque se atribuyen los primeros usos del cero en Francia al controvertido papa Silvestre II, alrededor del año 1000, la mayor parte de las referencias indican que el cero (llamado zefhirum) fue introducido en Europa unos años más tarde. El signo del cero apareció en el siglo XII en algunas traducciones al latín de las obras árabes, con la forma de un pequeño círculo. Más tarde sufriría ligeras modificaciones en su escritura, a manos de diversos autores, hasta llegar a la forma ovalada en la que lo conocemos hoy en día. En el siglo XIII, el matemático italiano Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, aprendió el álgebra de los árabes y la propagó a través de su Liber abaci (El libro del ábaco) por toda Europa. Por la facilidad del nuevo sistema, las autoridades eclesiásticas lo tildaron de mágico o demoniaco. Sin embargo, Leonardo era quizás el matemático más influyente de la época y sus aportaciones calaron en toda la comunidad científica occidental.

Y el resto, como se suele decir, es historia.